1991 AMC 12 第 23 题

Question

若

ABCD

是一个

2\times2

正方形，

E

是

AB

的中点，

F

是

BC

的中点，

AF

与

DE

交于

I

，

BD

与

AF

交于

H

，则四边形

BEIH

的面积为

If

ABCD

is a

2\times2

square,

E

is the midpoint of

AB,

F

is the midpoint of

BC,

AF

and

DE

intersect at

I,

and

BD

and

AF

intersect at

H,

then the area of quadrilateral

BEIH

is

\frac13

\frac25

\frac7{15}

\frac8{15}

\frac35

答案：C

知识点：坐标几何 line intersection polygon area

难度评级：2250

小提示：

为正方形建立坐标，并写出

AF

、

DE

和

BD

的方程

Assign coordinates to the square and write equations for

AF,

DE,

and

BD

大提示：

求出

I

和

H

，再对

B,E,I,H

使用鞋带公式

Find

I

and

H,

then use the shoelace formula on

B,E,I,H

解答：

设

B=(0,0)

、

C=(2,0)

、

D=(2,2)

、

A=(0,2)

。则

E=(0,1)

、

F=(1,0)

，且直线交点为

\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right) \end{aligned}\text{。}

鞋带公式给出

\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15} \end{aligned}\text{。}

因此正确答案为 C。

Set

B=(0,0),

C=(2,0),

D=(2,2),

and

A=(0,2).

Then

E=(0,1),

F=(1,0),

and the line intersections are

\begin{aligned} I&=AF\cap DE =\left(\frac25,\frac65\right),\\ H&=AF\cap BD =\left(\frac23,\frac23\right). \end{aligned}

The shoelace formula gives

\begin{aligned} [BEIH] &=\frac12\left| \frac4{15}-\frac25-\frac45 \right|\\ &=\frac7{15}. \end{aligned}

Thus the correct answer is C.

1991 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：2250

小提示：

大提示：

解答：

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