1993 AMC 12 第 16 题

Question

考虑如下正整数非递减数列：

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

其中第

n

个正整数出现

n

次。第

1993

项除以

5

的余数是

Consider the non-decreasing sequence of positive integers

\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}

in which the

n

th positive integer appears

n

times. The remainder when the

1993

rd term is divided by

5

is

0

1

2

3

4

答案：D

知识点：triangular numbers indexed sequence 模运算

难度评级：1500

小提示：

数

n

最后一次出现的位置是

\frac{n(n+1)}2

。

The final occurrence of

n

is in position

\frac{n(n+1)}2

大提示：

将

1993

与对应于

62

和

63

的三角数比较。

Compare

1993

with the triangular numbers for

62

and

63

解答：

最后一个

62

出现在位置

\frac{62\cdot63}{2}=1953\text{，}

而最后一个

63

出现在位置

\frac{63\cdot64}{2}=2016

。因此第

1993

项是

63

，它除以

5

的余数为

3

。故正确答案是 D。

The last

62

occurs in position

\frac{62\cdot63}{2}=1953,

while the last

63

occurs in position

\frac{63\cdot64}{2}=2016.

Thus the

1993

rd term is

63,

whose remainder modulo

5

is

3.

Thus the correct answer is D.

1993 AMC 12 第 16 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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