1993 AMC 12 第 17 题

Question

艾米在一个正方形钟面上画了飞镖盘，并以各整点方向为分界线，如图所示。设

t

为八个三角形区域之一的面积，例如

12

点方向与

1

点方向之间的区域；设

q

为四个角部四边形区域之一的面积，例如

1

点方向与

2

点方向之间的区域。则

\frac qt=

Amy painted a dart board over a square clock face using the “hour positions” as boundaries. [See figure.] If

t

is the area of one of the eight triangular regions such as that between

12

o’clock and

1

o’clock, and

q

is the area of one of the four corner quadrilaterals such as that between

1

o’clock and

2

o’clock, then

\frac qt=

2\sqrt3-2

\frac32

\frac{\sqrt5+1}{2}

\sqrt3

2

答案：A

知识点：面积比坐标几何 clock angles

难度评级：1960

小提示：

缩放正方形，使其四边分别位于

x=\pm1

和

y=\pm1

。

Scale the square so its sides are

x=\pm1

and

y=\pm1

大提示：

1

点方向的射线与上边相交处满足

x=\frac{1}{\sqrt3}

。

The

1

o’clock ray meets the top side at

x=\frac{1}{\sqrt3}

解答：

令正方形为

[-1,1]^2

，其中心为原点。

1

点方向的射线与上边相交于

(\frac{1}{\sqrt3},1)

，所以

t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}\text{。}

角部四边形的顶点为

(0,0)

、

(\frac{1}{\sqrt3},1)

、

(1,1)

、

(1,\frac{1}{\sqrt3})

。其面积为

q=1-\frac1{\sqrt3}

。因此

\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2\text{。}

故正确答案是 A。

Let the square be

[-1,1]^2

and its center be the origin. The

1

o’clock ray meets the top side at

(\frac{1}{\sqrt3},1),

so

t=\frac12\left(\frac1{\sqrt3}\right)(1)=\frac1{2\sqrt3}.

The corner quadrilateral has vertices

(0,0),

(\frac{1}{\sqrt3},1),

(1,1),

(1,\frac{1}{\sqrt3}).

Its area is

q=1-\frac1{\sqrt3}.

Hence

\frac qt=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{\frac{1}{2\sqrt3}}=2\sqrt3-2.

Thus the correct answer is A.

1993 AMC 12 第 17 题

答案：A

难度评级：1960

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题