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1995 AMC 12 第 18 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

18.

两条以

O

为公共端点的射线组成一个

30^\circ

角。点

A

位于一条射线上，点

B

位于另一条射线上，且

AB=1

。

OB

的最大可能长度是

Two rays with common endpoint

O

form a

30^\circ

angle. Point

A

lies on one ray, point

B

on the other ray, and

AB=1.

The maximum possible length of

OB

is

1

\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}

\sqrt3

2

\frac4{\sqrt3}

答案：D

知识点：余弦定理 discriminant

难度评级：1700

小提示：

对

\triangle AOB

应用余弦定理

Apply the Law of Cosines to

\triangle AOB

大提示：

将所得关系式看作关于

OA

的二次方程，并要求它有实数解

Treat the resulting relation as a quadratic in

OA

and require a real solution

解答：

设

OA=x

，

OB=y

。由余弦定理得

1=x^2+y^2-\sqrt3xy\text{。}

把它看作关于

x

的二次方程，其判别式为

3y^2-4(y^2-1)=4-y^2

。要使

x

为实数，必须有

y\le2

；当

x=\sqrt3

时可以取到等号。因此最大值为

2

，正确答案是 D。

Let

OA=x

and

OB=y.

The Law of Cosines gives

1=x^2+y^2-\sqrt3xy.

As a quadratic in

x,

this has discriminant

3y^2-4(y^2-1)=4-y^2.

A real

x

requires

y\le2,

and equality is attained when

x=\sqrt3.

Hence the maximum is

2,

and the correct answer is D.

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