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1997 AMC 12 第 9 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

9.

如图，

ABCD

是一个

2

乘

2

的正方形，

E

是

\overline{AD}

的中点，且

F

在

\overline{BE}

上。若

\overline{CF}

垂直于

\overline{BE}

，则四边形

CDEF

的面积为

In the figure,

ABCD

is a

2

by

2

square,

E

is the midpoint of

\overline{AD},

and

F

is on

\overline{BE}.

If

\overline{CF}

is perpendicular to

\overline{BE},

then the area of quadrilateral

CDEF

is

2

3-\frac{\sqrt3}{2}

\frac{11}{5}

\sqrt5

\frac94

答案：C

知识点：坐标几何面积

难度评级：1630

小提示：

建立坐标系，使

B=(0,0)

、

C=(2,0)

、

A=(0,2)

、

E=(1,2)

Place

B=(0,0),

C=(2,0),

A=(0,2),

and

E=(1,2)

大提示：

求直线

BE

与过

C

且垂直于

BE

的直线的交点

F

Find

F

as the intersection of

BE

with the line through

C

perpendicular to

BE

解答：

按第一个提示建立坐标系后，直线

BE

的方程为

y=2x

，过

C

的垂线方程为

y=-\frac{(x-2)}{2}

。两直线交于

F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})

。正方形的面积为

4

，而三角形

AEF

和

BCF

的面积分别为

\frac{3}{5}

和

\frac{4}{5}

。因此

[CDEF]=4-\frac{3}{5}

{}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5}

，故正确答案是 C。

With the coordinates in the first hint,

BE

has equation

y=2x,

and the perpendicular through

C

is

y=-\frac{(x-2)}{2}.

Their intersection is

F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).

The square has area

4,

while triangles

AEF

and

BCF

have areas

\frac{3}{5}

and

\frac{4}{5},

respectively. Hence

[CDEF]=4-\frac{3}{5}

{}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},

so C is correct.

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