1997 AMC 12 Problema 9

Question

En la figura,

ABCD

es un cuadrado de

2

por

2

,

E

es el punto medio de

\overline{AD},

y

F

está sobre

\overline{BE}.

Si

\overline{CF}

es perpendicular a

\overline{BE},

entonces el área del cuadrilátero

CDEF

es

In the figure,

ABCD

is a

2

by

2

square,

E

is the midpoint of

\overline{AD},

and

F

is on

\overline{BE}.

If

\overline{CF}

is perpendicular to

\overline{BE},

then the area of quadrilateral

CDEF

is

2

3-\frac{\sqrt3}{2}

\frac{11}{5}

\sqrt5

\frac94

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Ubica

B=(0,0),

C=(2,0),

A=(0,2)

y

E=(1,2)

Place

B=(0,0),

C=(2,0),

A=(0,2),

and

E=(1,2)

Pista grande:

Halla

F

como la intersección de

BE

con la recta que pasa por

C

y es perpendicular a

BE

Find

F

as the intersection of

BE

with the line through

C

perpendicular to

BE

Solución:

Con las coordenadas del primer indicio,

BE

tiene ecuación

y=2x,

y la perpendicular que pasa por

C

es

y=-\frac{(x-2)}{2}.

Su intersección es

F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).

El cuadrado tiene área

4,

mientras que los triángulos

AEF

y

BCF

tienen áreas

\frac{3}{5}

y

\frac{4}{5},

respectivamente. Por lo tanto,

[CDEF]=4-\frac{3}{5}

{}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},

así que C es la respuesta correcta.

With the coordinates in the first hint,

BE

has equation

y=2x,

and the perpendicular through

C

is

y=-\frac{(x-2)}{2}.

Their intersection is

F=(\frac{2}{5},\frac{4}{5}).

The square has area

4,

while triangles

AEF

and

BCF

have areas

\frac{3}{5}

and

\frac{4}{5},

respectively. Hence

[CDEF]=4-\frac{3}{5}

{}-\frac{4}{5}=\frac{11}{5},

so C is correct.