1952 AMC 12 Problema 12

Question

La suma infinita de una progresión geométrica es

6.

La suma de sus dos primeros términos es

4\dfrac12.

El primer término de la progresión es:

The sum to infinity of the terms of an infinite geometric progression is

6.

The sum of the first two terms is

4\dfrac12.

The first term of the progression is:

3

o

1\dfrac12

3

or

1\dfrac12

1

2\dfrac12

6

9

o

3

9

or

3

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea

a

el primer término y

r

la razón común

Let the first term be

a

and the common ratio be

r

Pista grande:

Usa

a=6(1-r)

en la ecuación

a(1+r)=\frac{9}{2}

Use

a=6(1-r)

in the equation

a(1+r)=\frac{9}{2}

Solución:

Sea

a

el primer término y

r

la razón común. La suma infinita da

a=6(1-r).

Por lo tanto, los dos primeros términos satisfacen

a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.

Así,

r^2=\frac{1}{4},

de modo que

r=\frac{1}{2}

da

a=3,

mientras que

r=-\frac{1}{2}

da

a=9.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the first term be

a

and the common ratio be

r.

The infinite sum gives

a=6(1-r).

The first two terms therefore satisfy

a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.

Thus

r^2=\frac{1}{4},

so

r=\frac{1}{2}

gives

a=3,

while

r=-\frac{1}{2}