1965 AMC 12 Problema 12

Question

Se inscribe un rombo en el triángulo

ABC

de modo que uno de sus vértices sea

A

y dos de sus lados estén sobre

AB

y

AC.

Si

AC=6

pulgadas,

AB=12

pulgadas y

BC=8

pulgadas, el lado del rombo, en pulgadas, es:

A rhombus is inscribed in triangle

ABC

in such a way that one of its vertices is

A

and two of its sides lie along

AB

and

AC.

If

AC=6

inches,

AB=12

inches, and

BC=8

inches, the side of the rhombus, in inches, is:

2

3

3\dfrac12

4

5

Respuesta: D

Conceptos:rombo semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Sea

s

el lado del rombo; sus vértices adyacentes están a una fracción

\frac{s}{12}

del recorrido desde el vértice común sobre

AB

y

\frac{s}{6}

sobre

AC

Let the rhombus side be

s

, with adjacent vertices

\frac{s}{12}

of the way along

AB

and

\frac{s}{6}

along

AC

Pista grande:

El vértice opuesto del rombo está sobre

BC

, así que sus dos coeficientes afines suman

1

The opposite rhombus vertex lies on

BC

, so its two affine coefficients sum to

1

Solución:

Toma

A

como origen y sean

u,v

los vectores desde el origen hacia

B,C.

Si el lado del rombo es

s,

su vértice opuesto es

(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.

Un punto está sobre

BC

cuando estos coeficientes suman

1.

Así,

\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,

de donde

s=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Use

A

as the origin and let the vectors to

B,C

be

u,v.

If the rhombus side is

s,

its opposite vertex is

(\frac{s}{12})u+(\frac{s}{6})v.

A point lies on

BC

when these coefficients sum to

1.

Thus

\frac{s}{12}+\frac{s}{6}=1,

giving

s=4.

Therefore, the correct answer is D.