1967 AMC 12 Problema 12

Question

Si el área (convexa) limitada por el eje

x

y las rectas

y=mx+4,

x=1,

y

x=4

es

7,

entonces

m

es igual a:

If the (convex) area bounded by the

x

-axis and the lines

y=mx+4,

x=1,

and

x=4

is

7,

then

m

equals:

-\dfrac12

-\dfrac23

-\dfrac32

-2

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica trapecio ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Los lados verticales paralelos miden

m+4

y

4m+4

The parallel vertical sides have lengths

m+4

and

4m+4

Pista grande:

Su separación es

3

, así que usa la fórmula del área de un trapecio

Their separation is

3

, so use the trapezoid-area formula

Solución:

La región limitada es un trapecio con lados paralelos

m+4

y

4m+4,

separados por

3.

Así,

\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7.

Por lo tanto,

15m+24=14,

de modo que

m=-\frac{2}{3}.

Las alturas de los extremos son positivas, como exige la región convexa indicada.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The bounded region is a trapezoid with parallel sides

m+4

and

4m+4,

separated by

3.

Thus

\frac32\bigl((m+4)+(4m+4)\bigr)=7.

Hence

15m+24=14,

so

m=-\frac{2}{3}.

The endpoint heights are positive, as required for the stated convex region.

Therefore, the correct answer is B.