1978 AMC 12 Problema 12

Question

En

\triangle ADE,

\angle ADE=140^\circ,

los puntos

B

y

C

están en los lados

AD

y

AE,

respectivamente, y los puntos

A,

B,

C,

D,

E

son distintos. Si las longitudes

AB,

BC,

CD,

y

DE

son iguales, entonces la medida de

\angle EAD

es

In

\triangle ADE,

\angle ADE=140^\circ,

points

B

and

C

lie on sides

AD

and

AE,

respectively, and points

A,

B,

C,

D,

E

are distinct. If lengths

AB,

BC,

CD,

and

DE

are all equal, then the measure of

\angle EAD

is

5^\circ

6^\circ

7.5^\circ

8^\circ

10^\circ

Respuesta: E

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Denomina

\angle BAC=\angle BCA=x

y usa sucesivamente los triángulos isósceles

Name

\angle BAC=\angle BCA=x

and use the successive isosceles triangles

Pista grande:

Expresa los otros ángulos de la base en términos de

x

y luego usa la suma de ángulos de

\triangle ADE

Express the other base angles in terms of

x,

then use the angle sum in

\triangle ADE

Solución:

Sean

x=\angle BAC=\angle BCA,

y=\angle CBD=\angle CDB,

y

z=\angle DCE=\angle DEC.

Al aplicar sucesivamente el teorema del ángulo exterior se obtiene

y=2x,\qquad z=x+y=3x.

Los ángulos de

\triangle ADE

son

x,

140^\circ

y

z,

por lo que

x+140^\circ+3x=180^\circ.

Por consiguiente,

x=10^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

x=\angle BAC=\angle BCA,

y=\angle CBD=\angle CDB,

and

z=\angle DCE=\angle DEC.

The exterior-angle theorem applied successively gives

y=2x,\qquad z=x+y=3x.

The angles of

\triangle ADE

are

x,

140^\circ,

and

z,

so

x+140^\circ+3x=180^\circ.

Hence

x=10^\circ.

Therefore, the correct answer is E.