1952 AMC 12 第 12 题

Question

一个无穷等比数列的和为

6

。前两项之和为

4\dfrac12

。该数列的首项为：

The sum to infinity of the terms of an infinite geometric progression is

6.

The sum of the first two terms is

4\dfrac12.

The first term of the progression is:

3

或

1\dfrac12

3

or

1\dfrac12

1

2\dfrac12

6

9

或

3

9

or

3

答案：E

知识点：等比数列二次方程

难度评级：1770

小提示：

设首项为

a

，公比为

r

Let the first term be

a

and the common ratio be

r

大提示：

将

a=6(1-r)

代入方程

a(1+r)=\frac{9}{2}

Use

a=6(1-r)

in the equation

a(1+r)=\frac{9}{2}

解答：

设首项为

a

，公比为

r

。由无穷和可得

a=6(1-r)

。因此，前两项满足

a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92\text{。}

所以

r^2=\frac{1}{4}

：当

r=\frac{1}{2}

时

a=3

，当

r=-\frac{1}{2}

时

a=9

。

因此，正确答案是 E。

Let the first term be

a

and the common ratio be

r.

The infinite sum gives

a=6(1-r).

The first two terms therefore satisfy

a(1+r)=6(1-r^2)=\frac92.

Thus

r^2=\frac{1}{4},

so

r=\frac{1}{2}

gives

a=3,

while

r=-\frac{1}{2}