1966 AMC 12 Problema 14

Question

El rectángulo

ABCD

mide

5

pulgadas de largo y

3

de ancho. Los puntos

E

y

F

dividen la diagonal

AC

en tres segmentos iguales. El área del triángulo

BEF,

expresada en pulgadas cuadradas, es:

The length of rectangle

ABCD

is

5

inches and its width is

3

inches. Diagonal

AC

is divided into three equal segments by points

E

and

F.

The area of triangle

BEF,

expressed in square inches, is:

\dfrac32

\dfrac53

\dfrac52

\dfrac13\sqrt{34}

\dfrac13\sqrt{68}

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Coloca el rectángulo en

(0,0),

(5,0),

(5,3),

y

(0,3)

Place the rectangle at

(0,0),

(5,0),

(5,3),

and

(0,3)

Pista grande:

Los puntos de trisección de la diagonal

AC

tienen coordenadas sencillas

The trisection points of diagonal

AC

have easy coordinates

Solución:

Toma

A=(0,0),

B=(5,0),

y

C=(5,3).

Entonces

E=(\frac{5}{3},1)

y

F=(\frac{10}{3},2).

La fórmula del determinante da

\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take

A=(0,0),

B=(5,0),

and

C=(5,3).

Then

E=(\frac{5}{3},1)

and

F=(\frac{10}{3},2).

The determinant formula gives

\begin{aligned} [BEF] &=\frac12\left| \left(-\frac{10}{3}\right)2 -\left(-\frac53\right)1 \right|\\ &=\frac52. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.