1958 AMC 12 Problema 4

Question

En la expresión

\dfrac{x+1}{x-1},

se reemplaza cada

x

por

\dfrac{x+1}{x-1}.

La expresión resultante, evaluada en

x=\dfrac12,

es igual a:

In the expression

\dfrac{x+1}{x-1},

each

x

is replaced by

\dfrac{x+1}{x-1}.

The resulting expression, evaluated for

x=\dfrac12,

equals:

3

-3

1

-1

ninguna de las anteriores

none of these

Sea

f(x)=\frac{x+1}{x-1}

y simplifica

f(f(x))

Let

f(x)=\frac{x+1}{x-1}

and simplify

f(f(x))

Combina por separado el numerador y el denominador de la fracción compuesta

Combine the numerator and denominator of the composed fraction separately

Sea

f(x)=\frac{x+1}{x-1}.

Entonces

\begin{aligned} f(f(x)) &=\frac{\frac{x+1}{x-1}+1} {\frac{x+1}{x-1}-1}\\ &=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} =x. \end{aligned}

Para

x=\frac{1}{2},

el valor es

\frac{1}{2},

que no aparece en la lista.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

f(x)=\frac{x+1}{x-1}.

Then

\begin{aligned} f(f(x)) &=\frac{\frac{x+1}{x-1}+1} {\frac{x+1}{x-1}-1}\\ &=\frac{\frac{2x}{x-1}}{\frac{2}{x-1}} =x. \end{aligned}

At

x=\frac{1}{2},

the value is

\frac{1}{2},

which is not listed.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 4 en otros años