1973 AMC 12 Problema 4

Question

Dos triángulos congruentes de

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

se colocan de modo que se superponen parcialmente y sus hipotenusas coinciden. Si la hipotenusa de cada triángulo mide

12,

el área común a ambos triángulos es

Two congruent

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangles are placed so that they overlap partly and their hypotenuses coincide. If the hypotenuse of each triangle is

12,

the area common to both triangles is

6\sqrt3

8\sqrt3

9\sqrt3

12\sqrt3

24

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo especial geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Coloca la hipotenusa común sobre el eje

x

e intercambia el extremo que tiene el ángulo de

30^\circ

Place the common hypotenuse on the

x

-axis and reverse which endpoint has the

30^\circ

angle

Pista grande:

La frontera superior de la superposición consta de dos rectas que forman ángulos de

30^\circ

con la hipotenusa

The upper boundary of the overlap consists of two lines making

30^\circ

angles with the hypotenuse

Solución:

Coloca la hipotenusa común desde

A=(0,0)

hasta

B=(12,0).

Los terceros vértices de los triángulos son

(9,3\sqrt3)

y

(3,3\sqrt3).

Su región común es el triángulo de base

AB

cuyo vértice está donde se cortan

y=\frac{x}{\sqrt3}

y

y=\frac{12-x}{\sqrt3}

. Esto ocurre en

x=6,

con altura

2\sqrt3.

Por lo tanto, el área común es

\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Put the common hypotenuse from

A=(0,0)

to

B=(12,0).

The two triangles have their third vertices at

(9,3\sqrt3)

and

(3,3\sqrt3).

Their common region is the triangle with base

AB

and apex where

y=\frac{x}{\sqrt3}

and

y=\frac{12-x}{\sqrt3}

meet. This occurs at

x=6,

with height

2\sqrt3.

Hence the common area is

\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.