1973 AMC 12 第 4 题

Question

将两个全等的

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

三角形摆放成部分重叠且斜边重合。若每个三角形的斜边长为

12

，则两个三角形公共部分的面积为

Two congruent

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangles are placed so that they overlap partly and their hypotenuses coincide. If the hypotenuse of each triangle is

12,

the area common to both triangles is

6\sqrt3

8\sqrt3

9\sqrt3

12\sqrt3

24

答案：D

知识点：特殊直角三角形坐标几何三角形面积

难度评级：1670

小提示：

将公共斜边放在

x

轴上，并让两个三角形的

30^\circ

角分别位于斜边的不同端点

Place the common hypotenuse on the

x

-axis and reverse which endpoint has the

30^\circ

angle

大提示：

重叠区域的上边界由两条与斜边成

30^\circ

角的直线组成

The upper boundary of the overlap consists of two lines making

30^\circ

angles with the hypotenuse

解答：

将公共斜边取为从

A=(0,0)

到

B=(12,0)

。两个三角形的第三个顶点分别为

(9,3\sqrt3)

和

(3,3\sqrt3)

。它们的公共区域是以

AB

为底的三角形，其顶点为

y=\frac{x}{\sqrt3}

与

y=\frac{12-x}{\sqrt3}

的交点。交点横坐标为

x=6

，高度为

2\sqrt3

。因此公共面积为

\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3\text{。}

所以正确答案是 D。

Put the common hypotenuse from

A=(0,0)

to

B=(12,0).

The two triangles have their third vertices at

(9,3\sqrt3)

and

(3,3\sqrt3).

Their common region is the triangle with base

AB

and apex where

y=\frac{x}{\sqrt3}

and

y=\frac{12-x}{\sqrt3}

meet. This occurs at

x=6,

with height

2\sqrt3.

Hence the common area is

\frac12(12)(2\sqrt3)=12\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.

1973 AMC 12 第 4 题

答案：D

难度评级：1670

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 4 题