1973 AMC 12 Problema 5

Escribe la operación de promediar como $a*b=\frac{a+b}{2}$

Desarrolla cada identidad propuesta; un solo contraejemplo basta para descartar una propiedad

Sea $a*b=\frac{a+b}{2}.$ La conmutatividad es inmediata. Además, $$\begin{aligned} a+(b*c) &=\frac{2a+b+c}{2}\\ &=(a+b)*(a+c). \end{aligned}$$ por lo que la suma es distributiva respecto de promediar.

La asociatividad falla porque $$\begin{aligned} (a*b)*c&=\frac{a+b+2c}{4},\\ a*(b*c)&=\frac{2a+b+c}{4}. \end{aligned}$$ Promediar no es distributivo respecto de la suma, pues en general $$a*(b+c)\ne(a*b)+(a*c).$$ Por último, un elemento identidad $e$ exigiría que $\frac{e+a}{2}=a$ para todo $a,$ es decir, que $e=a,$ lo cual es imposible para un $e$ fijo. Por tanto, solo $\mathrm{II}$ y $\mathrm{IV}$ se cumplen siempre.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.