Si b>1, x>0, y (2x)^log_b2-(3x)^log_b3=0, entonces x es

(E) no está determinado de manera única

La función f no está definida para x=0, pero, para todo número real no nulo x, f(x)+2f(1x)=3x. La ecuación f(x)=f(-x) se satisface para

(B) exactamente dos números reales

(A) exactamente un número real

(D) infinitos números reales no nulos, pero no todos

(E) todos los números reales no nulos

1981 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

Si

\sqrt{x+2}=2,

entonces

(x+2)^2

es igual a

If

\sqrt{x+2}=2,

then

(x+2)^2

equals

\sqrt2

2

4

8

16

Respuesta: E

Conceptos:radical sustitución

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

La ecuación ya proporciona el valor de

x+2

The equation already gives the value of

x+2

Pista grande:

Eleva una vez más al cuadrado el valor conocido

Square the known value once more

Solución:

De

\sqrt{x+2}=2,

obtenemos

x+2=4.

Por lo tanto,

(x+2)^2=4^2=16.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

From

\sqrt{x+2}=2,

we get

x+2=4.

Therefore

(x+2)^2=4^2=16.

Therefore, the correct answer is E.

2.

El punto

E

está en el lado

AB

del cuadrado

ABCD.

Si

EB

tiene longitud uno y

EC

tiene longitud dos, entonces el área del cuadrado es

Point

E

is on side

AB

of square

ABCD.

If

EB

has length one and

EC

has length two, then the area of the square is

\sqrt3

\sqrt5

3

2\sqrt3

5

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)Teorema de Pitágoras área

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

El triángulo

EBC

es rectángulo

Triangle

EBC

is a right triangle

Pista grande:

El cateto desconocido

BC

también es la longitud del lado del cuadrado

The unknown leg

BC

is also the side length of the square

Solución:

Sea

s

la longitud del lado del cuadrado. En el triángulo rectángulo

EBC,

s^2+1^2=2^2.

Por consiguiente,

s^2=3,

que es precisamente el área del cuadrado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the square’s side length be

s.

In right triangle

EBC,

s^2+1^2=2^2.

Hence

s^2=3,

which is exactly the area of the square.

Therefore, the correct answer is C.

3.

Para

x\ne0,

\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}

es igual a

For

x\ne0,

\frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x}

equals

\frac1{2x}

\frac1{6x}

\frac5{6x}

\frac{11}{6x}

\frac1{6x^3}

Respuesta: D

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Usa

6x

como denominador común

Use

6x

as a common denominator

Pista grande:

Suma los numeradores resultantes

6,

3,

y

2

Add the resulting numerators

6,

3,

and

2

Solución:

Al usar el denominador común

6x

, obtenemos

\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Using the common denominator

6x

gives

\begin{aligned} \frac1x+\frac1{2x}+\frac1{3x} &=\frac6{6x}+\frac3{6x}\\ &\quad+\frac2{6x}\\ &=\frac{11}{6x}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

4.

Si tres veces el mayor de dos números es igual a cuatro veces el menor y la diferencia entre los números es

8,

entonces el mayor de los dos números es

If three times the larger of two numbers is four times the smaller and the difference between the numbers is

8,

then the larger of the two numbers is

16

24

32

44

52

Respuesta: C

Conceptos:ecuación lineal razón y proporción

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Sean

L

y

S

los números mayor y menor, respectivamente

Let

L

and

S

denote the larger and smaller numbers

Pista grande:

Usa

3L=4S

junto con

L-S=8

Use

3L=4S

together with

L-S=8

Solución:

La relación

3L=4S

da

S=\frac{3L}{4}.

Por tanto,

L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8,

así que

L=32.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The relation

3L=4S

gives

S=\frac{3L}{4}.

Thus

L-S=L-\frac{3L}{4}=\frac L4=8,

so

L=32.

Therefore, the correct answer is C.

5.

En el trapecio

ABCD,

los lados

AB

y

CD

son paralelos, y la diagonal

BD

y el lado

AD

tienen la misma longitud. Si

\angle DCB=110^\circ

y

\angle CBD=30^\circ,

entonces

\angle ADB=

In trapezoid

ABCD,

sides

AB

and

CD

are parallel, and diagonal

BD

and side

AD

have equal length. If

\angle DCB=110^\circ

and

\angle CBD=30^\circ,

then

\angle ADB=

80^\circ

90^\circ

100^\circ

110^\circ

120^\circ

Respuesta: C

Conceptos:trapecio rectas paralelas triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa las bases paralelas para hallar el ángulo interior completo en

B

Use the parallel bases to find the full interior angle at

B

Pista grande:

Después usa

AD=BD

en el triángulo

ABD

Then use

AD=BD

in triangle

ABD

Solución:

Como

AB\parallel CD,

los ángulos interiores consecutivos dan

\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.

Por tanto,

\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.

Como

AD=BD,

el triángulo

ABD

cumple

\angle DAB=\angle ABD=40^\circ.

Así,

\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

AB\parallel CD,

consecutive interior angles give

\angle ABC=180^\circ-110^\circ=70^\circ.

Hence

\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.

Because

AD=BD,

triangle

ABD

has

\angle DAB=\angle ABD=40^\circ.

Therefore

\begin{aligned} \angle ADB &=180^\circ-40^\circ-40^\circ\\ &=100^\circ. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

6.

Si

\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},

entonces

x

es igual a

If

\frac{x}{x-1}=\frac{y^2+2y-1}{y^2+2y-2},

then

x

equals

y^2+2y-1

y^2+2y-2

y^2+2y+2

y^2+2y+1

-y^2-2y+1

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Observa que cada denominador es uno menos que su numerador

Notice that each denominator is one less than its numerator

Pista grande:

Sea

A=y^2+2y-1

y compara

\frac{x}{x-1}

con

\frac A{A-1}

Set

A=y^2+2y-1

and compare

\frac{x}{x-1}

with

\frac A{A-1}

Solución:

Sea

A=y^2+2y-1.

La ecuación se convierte en

\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}.

Al multiplicar en cruz obtenemos

xA-x=Ax-A,

por lo que

x=A=y^2+2y-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

A=y^2+2y-1.

The equation becomes

\frac{x}{x-1}=\frac{A}{A-1}.

Cross-multiplication gives

xA-x=Ax-A,

so

x=A=y^2+2y-1.

Therefore, the correct answer is A.

7.

¿Cuántos de los primeros cien enteros positivos son divisibles por todos los números

2,

3,

4

y

5

?

How many of the first one hundred positive integers are divisible by all of the numbers

2,

3,

4,

5?

0

1

2

3

4

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Halla el mínimo común múltiplo de

2,

3,

4,

y

5

Find the least common multiple of

2,

3,

4,

and

5

Pista grande:

Cuenta los múltiplos de ese mínimo común múltiplo hasta

100

Count the multiples of that least common multiple through

100

Solución:

El mínimo común múltiplo es

\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60.

Entre los enteros positivos hasta

100,

solo

60

es múltiplo de

60.

Por tanto, la cantidad es

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The least common multiple is

\operatorname{lcm}(2,3,4,5)=60.

Among the positive integers through

100,

only

60

is a multiple of

60.

Thus the count is

1.

Therefore, the correct answer is B.

8.

Para todos los números positivos

x,

y,

z,

el producto

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

es igual a

For all positive numbers

x,

y,

z,

the product

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

equals

x^{-2}y^{-2}z^{-2}

x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}

(x+y+z)^{-1}

\frac1{xyz}

\frac1{xy+yz+zx}

Respuesta: A

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Reescribe cada suma de recíprocos con un denominador común

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

Pista grande:

Las dos sumas de recíprocos introducen los factores

xy+yz+zx

y

x+y+z

The two reciprocal sums introduce factors

xy+yz+zx

and

x+y+z

Solución:

Tenemos

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

y

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

Todos los factores de las sumas simétricas se cancelan, y queda

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

and

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

All symmetric sum factors cancel, leaving

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Therefore, the correct answer is A.

9.

En la figura adjunta,

PQ

es una diagonal del cubo. Si

PQ

tiene longitud

a,

entonces el área de la superficie del cubo es

In the adjoining figure,

PQ

is a diagonal of the cube. If

PQ

has length

a,

then the surface area of the cube is

2a^2

2\sqrt2a^2

2\sqrt3a^2

3\sqrt3a^2

6a^2

Respuesta: A

Conceptos:geometría del cubo diagonal área de superficie

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Relaciona la diagonal espacial del cubo con la longitud de su lado

Relate the cube’s space diagonal to its side length

Pista grande:

Sustituye la longitud del lado en la fórmula para las seis caras cuadradas

Substitute the side length into the formula for six square faces

Solución:

Si la longitud del lado es

s,

entonces la diagonal espacial es

s\sqrt3=a,

por lo que

s^2=\frac{a^2}{3}.

El área de la superficie es

6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the side length is

s,

then the space diagonal is

s\sqrt3=a,

so

s^2=\frac{a^2}{3}.

The surface area is

6s^2=6(\frac{a^2}{3})=2a^2.

Therefore, the correct answer is A.

10.

Las rectas

L

y

K

son simétricas entre sí respecto de la recta

y=x.

Si la ecuación de la recta

L

es

y=ax+b

, con

a\ne0

y

b\ne0,

entonces la ecuación de

K

es

y=

The lines

L

and

K

are symmetric to each other with respect to the line

y=x.

If the equation of line

L

is

y=ax+b

with

a\ne0

and

b\ne0,

then the equation of

K

is

y=

\frac1a x+b

-\frac1a x+b

-\frac1a x-\frac ba

\frac1a x+\frac ba

\frac1a x-\frac ba

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica reflexión (geometría)ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

La reflexión respecto de

y=x

intercambia las dos coordenadas

Reflection across

y=x

interchanges the two coordinates

Pista grande:

Intercambia

x

y

y

en la ecuación original y luego despeja

y

Swap

x

and

y

in the original equation, then solve for

y

Solución:

Al intercambiar

x

y

y

en

y=ax+b

, obtenemos

x=ay+b.

Al despejar,

y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Interchanging

x

and

y

in

y=ax+b

gives

x=ay+b.

Solving,

y=\frac{x-b}{a}=\frac1a x-\frac ba.

Therefore, the correct answer is E.

11.

Los tres lados de un triángulo rectángulo tienen longitudes enteras que forman una progresión aritmética. Uno de los lados podría tener longitud

The three sides of a right triangle have integral lengths which form an arithmetic progression. One of the sides could have length

22

58

81

91

361

Respuesta: C

Conceptos:Terna pitagórica sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Representa los tres lados igualmente espaciados como

s-d,

s,

s+d

Represent the three equally spaced sides as

s-d,

s,

s+d

Pista grande:

Todo triángulo rectángulo integral de este tipo es un múltiplo de un triángulo

3

-

4

-

5

Every such integral right triangle is a multiple of a

3

-

4

-

5

triangle

Solución:

Si los lados son

s-d,

s,

s+d,

la ecuación pitagórica da

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

de donde

s=4k

y

d=k

para algún entero positivo

k.

Así, los lados son

3k,

4k,

5k.

Entre las opciones,

81=3\cdot27

puede aparecer.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the sides are

s-d,

s,

s+d,

the Pythagorean equation gives

(s-d)^2+s^2=(s+d)^2,

hence

s=4k

and

d=k

for some positive integer

k.

Thus the sides are

3k,

4k,

5k.

Of the choices,

81=3\cdot27

can occur.

Therefore, the correct answer is C.

12.

Si

p,

q,

y

M

son números positivos y

q\lt100,

entonces el número que se obtiene al aumentar

M

en

p\%

y disminuir el resultado en

q\%

excede a

M

si y solo si

If

p,

q,

and

M

are positive numbers and

q\lt100,

then the number obtained by increasing

M

by

p\%

and decreasing the result by

q\%

exceeds

M

if and only if

p\gt q

p\gt\frac q{100-q}

p\gt\frac q{1-q}

p\gt\frac{100q}{100+q}

p\gt\frac{100q}{100-q}

Respuesta: E

Conceptos:porcentaje desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los dos cambios porcentuales sucesivos como factores multiplicativos

Write the two successive percentage changes as multiplication factors

Pista grande:

Usa

q\lt100

al dividir por

100-q

Use

q\lt100

when dividing by

100-q

Solución:

La cantidad final es

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).

Excede a

M

exactamente cuando

(100+p)(100-q)\gt10000.

Al desarrollar se obtiene

p(100-q)\gt100q.

Como

100-q\gt0,

esto equivale a

p\gt\frac{100q}{100-q}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The final amount is

M\left(1+\frac p{100}\right) \left(1-\frac q{100}\right).

It exceeds

M

exactly when

(100+p)(100-q)\gt10000.

Expanding gives

p(100-q)\gt100q.

Since

100-q\gt0,

this is

p\gt\frac{100q}{100-q}.

Therefore, the correct answer is E.

13.

Supón que, al final de cada año, una unidad monetaria ha perdido el

10\%

del valor que tenía al principio de ese año. Halla el menor entero

n

tal que, después de

n

años, la unidad monetaria haya perdido al menos el

90\%

de su valor. (Al milésimo más cercano,

\log_{10}3

es

0.477.

)

Suppose that at the end of any year, a unit of money has lost

10\%

of the value it had at the beginning of that year. Find the smallest integer

n

such that after

n

years the unit of money will have lost at least

90\%

of its value. (To the nearest thousandth

\log_{10}3

is

0.477.

)

14

16

18

20

22

Respuesta: E

Conceptos:exponente logaritmo desigualdad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Después de

n

años, la fracción del valor que queda es

0.9^n

After

n

years, the fraction of value remaining is

0.9^n

Pista grande:

Usa

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

Use

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

Solución:

Perder al menos el

90\%

significa que

0.9^n\le0.1.

Ahora,

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}

Así,

n(-0.046)\le-1,

de modo que

n\ge21.739\ldots.

El menor entero es

22.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

At least

90\%

lost means

0.9^n\le0.1.

Now

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}

Thus

n(-0.046)\le-1,

so

n\ge21.739\ldots.

The least integer is

22.

Therefore, the correct answer is E.

14.

En una sucesión geométrica de números reales, la suma de los dos primeros términos es

7,

y la suma de los seis primeros es

91.

La suma de los cuatro primeros términos es

In a geometric sequence of real numbers, the sum of the first two terms is

7,

and the sum of the first six terms is

91.

The sum of the first four terms is

28

32

35

49

84

Respuesta: A

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Factoriza la suma de los seis primeros términos como la suma de los dos primeros multiplicada por

1+r^2+r^4

Factor the first-six-term sum into the first-two-term sum times

1+r^2+r^4

Pista grande:

Sea

t=r^2

y resuelve

1+t+t^2=13

Set

t=r^2

and solve

1+t+t^2=13

Solución:

Si el primer término es

a

y la razón es

r,

entonces

91=a(1+r)(1+r^2+r^4).

Como

a(1+r)=7,

tenemos

1+r^2+r^4=13.

Con

t=r^2\ge0,

resulta

t^2+t-12=0,

así que

t=3.

La suma de los cuatro primeros términos es

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If the first term is

a

and ratio is

r,

then

91=a(1+r)(1+r^2+r^4).

Since

a(1+r)=7,

we have

1+r^2+r^4=13.

With

t=r^2\ge0,

t^2+t-12=0,

so

t=3.

The first four terms sum to

a(1+r)(1+r^2)=7(4)=28.

Therefore, the correct answer is A.

15.

Si

b\gt1,

x\gt0,

y

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,

entonces

x

es

If

b\gt1,

x\gt0,

and

(2x)^{\log_b2}-(3x)^{\log_b3}=0,

then

x

is

\frac1{216}

\frac16

1

6

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: B

Conceptos:logaritmo exponente sustitución

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Toma logaritmos en base

b

de las dos potencias positivas iguales

Take logarithms to base

b

of the two equal positive powers

Pista grande:

Sean

A=\log_b2,

B=\log_b3,

y

u=\log_bx

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx

Solución:

Sean

A=\log_b2,

B=\log_b3,

y

u=\log_bx.

Al tomar logaritmos en base

b

obtenemos

A(A+u)=B(B+u).

Como

A\ne B,

A+B+u=0.

Por lo tanto,

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),

así que

x=\frac{1}{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

A=\log_b2,

B=\log_b3,

and

u=\log_bx.

Taking base-

b

logarithms gives

A(A+u)=B(B+u).

Since

A\ne B,

A+B+u=0.

Therefore

u=-\log_b6=\log_b(\frac{1}{6}),

so

x=\frac{1}{6}.

Therefore, the correct answer is B.

16.

La representación en base tres de

x

es

12112211122211112222.

El primer dígito (a la izquierda) de la representación en base nueve de

x

es

The base three representation of

x

is

12112211122211112222.

The first digit (on the left) of the base nine representation of

x

is

1

2

3

4

5

Respuesta: E

Conceptos:base numérica dígitos

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Como

9=3^2,

agrupa los dígitos en base tres de dos en dos desde la derecha

Since

9=3^2,

group the base-three digits in pairs from the right

Pista grande:

Convierte el par de la izquierda

12_3

en un dígito de base nueve

Convert the leftmost pair

12_3

into a base-nine digit

Solución:

La representación tiene un número par de dígitos en base tres, así que su primer dígito en base nueve proviene de

12_3.

Ese par tiene valor

1\cdot3+2=5,

por lo que el primer dígito en base nueve es

5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The representation has an even number of base-three digits, so its leftmost base-nine digit comes from

12_3.

That pair has value

1\cdot3+2=5,

so the first base-nine digit is

5.

Therefore, the correct answer is E.

17.

La función

f

no está definida para

x=0,

pero, para todo número real no nulo

x,

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.

La ecuación

f(x)=f(-x)

se satisface para

The function

f

is not defined for

x=0,

but, for all nonzero real numbers

x,

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.

The equation

f(x)=f(-x)

is satisfied by

exactamente un número real

exactly one real number

exactamente dos números reales

exactly two real numbers

ningún número real

no real numbers

infinitos números reales no nulos, pero no todos

infinitely many, but not all, nonzero real numbers

todos los números reales no nulos

all nonzero real numbers

Respuesta: B

Conceptos:ecuación funcional sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Vuelve a aplicar la relación dada después de sustituir

x

por

\frac{1}{x}

Apply the given relation again after replacing

x

by

\frac{1}{x}

Pista grande:

Resuelve las dos ecuaciones para

f(x)

y luego compara sus valores en

x

y

-x

Solve the two equations for

f(x)

, then compare its values at

x

and

-x

Solución:

Al sustituir

x

por

\frac{1}{x}

, obtenemos

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.

Al resolver las dos ecuaciones lineales resulta

f(x)=\frac2x-x.

Por consiguiente,

f(-x)=-f(x),

así que la igualdad exige

f(x)=0.

Por tanto,

\frac{2}{x}-x=0,

o bien

x^2=2.

Tanto

x=\sqrt2

como

x=-\sqrt2

funcionan, lo que da exactamente dos números reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing

x

by

\frac{1}{x}

gives

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.

Solving the two linear equations yields

f(x)=\frac2x-x.

Hence

f(-x)=-f(x),

so equality requires

f(x)=0.

Thus

\frac{2}{x}-x=0,

or

x^2=2.

Both

x=\sqrt2

and

x=-\sqrt2

work, giving exactly two real numbers.

Therefore, the correct answer is B.

18.

El número de soluciones reales de la ecuación

\frac{x}{100}=\sin x

es

The number of real solutions to the equation

\frac{x}{100}=\sin x

is

61

62

63

64

65

Respuesta: C

Conceptos:trigonometría conteo de intersecciones simetría

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

Usa la simetría impar y cuenta primero las soluciones positivas

Use odd symmetry and first count the positive solutions

Pista grande:

Solo las semiondas positivas del seno anteriores a

x=100

pueden cortar la recta; trata con cuidado la primera

Only positive sine humps below

x=100

can meet the line, with special care for the first hump

Solución:

La ecuación tiene simetría impar y posee la solución

x=0.

En

(0,\pi)

hay una solución positiva adicional. Para cada

k=1,2,\ldots,15,

la semionda positiva del seno en

(2k\pi,(2k+1)\pi)

sube por encima de

\frac{x}{100}

y luego baja por debajo, lo que da dos soluciones. No hay soluciones positivas después de

31\pi

, porque la siguiente semionda positiva comienza por encima de

100

, mientras que

|\sin x|\le1.

Por tanto, hay

1+2(15)=31

soluciones positivas, el mismo número de negativas y además el cero:

31+31+1=63.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The equation is odd-symmetric and has the solution

x=0.

On

(0,\pi)

there is one further positive solution. For each

k=1,2,\ldots,15,

the positive sine hump on

(2k\pi,(2k+1)\pi)

rises above

\frac{x}{100}

and then falls below it, giving two solutions. There are no positive solutions beyond

31\pi

, because the next positive hump begins above

100

while

|\sin x|\le1.

Thus there are

1+2(15)=31

positive solutions, the same number negative, and zero itself:

31+31+1=63.

Therefore, the correct answer is C.

19.

En

\triangle ABC,

M

es el punto medio del lado

BC,

AN

biseca

\angle BAC,

BN\perp AN,

y

\theta

es la medida de

\angle BAC.

Si los lados

AB

y

AC

tienen longitudes

14

y

19,

respectivamente, entonces la longitud

MN

es igual a

In

\triangle ABC,

M

is the midpoint of side

BC,

AN

bisects

\angle BAC,

BN\perp AN,

and

\theta

is the measure of

\angle BAC.

If sides

AB

and

AC

have lengths

14

and

19,

respectively, then length

MN

equals

2

\frac52

\frac52-\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\left(\frac\theta2\right)

Respuesta: B

Conceptos:bisectriz reflexión (geometría)punto medio

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Prolonga

BN

a través de

N

hasta que corte

AC

Extend

BN

through

N

to meet

AC

Pista grande:

Usa la congruencia a ambos lados de la bisectriz y luego aplica el teorema del segmento medio

Use congruence across the angle bisector, then apply the midpoint theorem

Solución:

Prolonga

BN

hasta que corte

AC

en

E.

Los triángulos rectángulos

ABN

y

AEN

son congruentes porque comparten

AN

y esta recta biseca el ángulo en

A.

Por consiguiente,

BE

queda bisecado por

N

y

AE=AB=14.

Como

AC=19,

se tiene

EC=5.

En el triángulo

BEC,

los puntos

N

y

M

son los puntos medios de

BE

y

BC,

por lo que

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend

BN

to meet

AC

at

E.

The right triangles

ABN

and

AEN

are congruent because

AN

is common and bisects the angle at

A.

Hence

BE

is bisected by

N

and

AE=AB=14.

Since

AC=19,

EC=5.

In triangle

BEC,

points

N

and

M

are the midpoints of

BE

and

BC,

so

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

20.

Un rayo de luz parte del punto

A

y viaja en un plano, reflejándose

n

veces entre las rectas

AD

y

CD,

antes de incidir perpendicularmente en un punto

B

(que puede estar en

AD

o

CD

) y volver sobre su trayectoria hasta

A.

(En cada punto de reflexión, el rayo forma dos ángulos iguales, como se indica en la figura adjunta. La figura muestra la trayectoria para

n=3.

) Si

\angle CDA=8^\circ,

¿cuál es el mayor valor que puede tener

n

?

A ray of light originates from point

A

and travels in a plane, being reflected

n

times between lines

AD

and

CD,

before striking a point

B

(which may be on

AD

or

CD

) perpendicularly and retracing its path to

A.

(At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for

n=3.

) If

\angle CDA=8^\circ,

what is the largest value

n

can have?

6

10

38

98

No existe un valor máximo.

There is no largest value.

Respuesta: B

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sigue el ángulo agudo entre el rayo y cada recta reflectora sucesiva

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

Pista grande:

Cada reflexión aumenta ese ángulo en el ángulo de la cuña,

8^\circ

Each reflection advances that angle by the wedge angle

8^\circ

Solución:

Sea

\theta\gt0

el ángulo agudo inicial entre el rayo y

AD.

Las relaciones sucesivas entre ángulos exteriores aumentan el ángulo agudo correspondiente en

8^\circ

con cada reflexión. En la incidencia perpendicular final,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Así,

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

por lo que

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

El mayor entero posible es

10,

alcanzado cuando

\theta=2^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

\theta\gt0

be the initial acute angle between the ray and

AD.

Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by

8^\circ

at each reflection. At the final perpendicular strike,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Thus

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

so

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

The greatest integer possible is

10,

attained when

\theta=2^\circ.

Therefore, the correct answer is B.

21.

En un triángulo cuyos lados tienen longitudes

a,

b,

y

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

La medida del ángulo opuesto al lado de longitud

c

es

In a triangle with sides of lengths

a,

b,

and

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

The measure of the angle opposite the side of length

c

is

15^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

150^\circ

Respuesta: D

Conceptos:ley de los cosenos diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Desarrolla el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados

Expand the left side as a difference of squares

Pista grande:

Compara la expresión resultante para

c^2

con la ley de los cosenos

Compare the resulting expression for

c^2

with the law of cosines

Solución:

La condición da

(a+b)^2-c^2=3ab,

por lo que

c^2=a^2+b^2-ab.

Si

\theta

es el ángulo opuesto a

c,

la ley de los cosenos dice que

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Por tanto,

2ab\cos\theta=ab,

así que

\cos\theta=\frac{1}{2}

y

\theta=60^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The condition gives

(a+b)^2-c^2=3ab,

so

c^2=a^2+b^2-ab.

If

\theta

is opposite

c,

the law of cosines says

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Therefore

2ab\cos\theta=ab,

so

\cos\theta=\frac{1}{2}

and

\theta=60^\circ.

Therefore, the correct answer is D.

22.

¿Cuántas rectas de un sistema tridimensional de coordenadas rectangulares pasan por cuatro puntos distintos de la forma

(i,j,k),

donde

i,

j,

y

k

son enteros positivos no mayores que cuatro?

How many lines in a three-dimensional rectangular coordinate system pass through four distinct points of the form

(i,j,k),

where

i,

j,

and

k

are positive integers not exceeding four?

60

64

72

76

100

Respuesta: D

Conceptos:Geometría 3D punto reticular conteo básico

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Cuatro puntos reticulares colineales en esta cuadrícula de

4

por

4

por

4

deben avanzar con pasos de coordenadas

0

o

\pm1

Four collinear lattice points in this

4

-by-

4

-by-

4

grid must advance by coordinate steps

0

or

\pm1

Pista grande:

Cuenta por separado las rectas paralelas a los ejes, las diagonales de las caras y las diagonales espaciales

Count axis-parallel lines, face-diagonal lines, and space diagonals separately

Solución:

Hay

3\cdot4^2=48

rectas paralelas a los ejes. Para las direcciones diagonales de las caras, se elige el par de coordenadas variables de

3

maneras, una de las

2

pendientes diagonales y se fija la coordenada restante de

4

maneras, lo que da

3\cdot2\cdot4=24.

Por último, el cubo tiene

4

diagonales espaciales. Por tanto, el total es

48+24+4=76.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are

3\cdot4^2=48

axis-parallel lines. For face-diagonal directions, choose the pair of varying coordinates in

3

ways, choose one of

2

diagonal slopes, and fix the remaining coordinate in

4

ways, giving

3\cdot2\cdot4=24.

Finally, the cube has

4

space diagonals. Thus the total is

48+24+4=76.

Therefore, the correct answer is D.

23.

El triángulo equilátero

\triangle ABC

está inscrito en un círculo. Un segundo círculo es tangente interiormente al circuncírculo en

T

y tangente a los lados

AB

y

AC

en los puntos

P

y

Q.

Si el lado

BC

tiene longitud

12,

entonces el segmento

PQ

tiene longitud

Equilateral

\triangle ABC

is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at

T

and tangent to sides

AB

and

AC

at points

P

and

Q.

If side

BC

has length

12,

then segment

PQ

has length

6

6\sqrt3

8

8\sqrt3

9

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa la simetría para situar los centros de ambos círculos y

T

en la altura trazada desde

A

Use symmetry to place both circle centers and

T

on the altitude from

A

Pista grande:

Relaciona el radio del círculo menor con el circunradio mediante el semiángulo de

30^\circ

en

A

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the

30^\circ

half-angle at

A

Solución:

El circunradio del triángulo equilátero es

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

Si el radio menor es

r,

su centro se encuentra en la altura y está a

2r

de

A,

porque su distancia a cualquiera de los lados es

r

y el semiángulo es

30^\circ.

La tangencia interior en la parte inferior da

2r=2R-r,

así que

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

Los puntos de tangencia en los dos lados están separados por

PQ=r\sqrt3=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumradius of the equilateral triangle is

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

If the smaller radius is

r,

its center lies on the altitude and is

2r

from

A,

because its distance to either side is

r

and the half-angle is

30^\circ.

Internal tangency at the bottom gives

2r=2R-r,

so

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

The tangency points on the two sides are separated by

PQ=r\sqrt3=8.

Therefore, the correct answer is C.

24.

Si

\theta

es una constante tal que

0\lt\theta\lt\pi

y

x+\frac1x=2\cos\theta,

entonces, para cada entero positivo

n,

x^n+\frac1{x^n}

es igual a

If

\theta

is a constant such that

0\lt\theta\lt\pi

and

x+\frac1x=2\cos\theta,

then for each positive integer

n,

x^n+\frac1{x^n}

equals

2\cos\theta

2^n\cos\theta

2\cos^n\theta

2\cos n\theta

2^n\cos^n\theta

Respuesta: D

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Reescribe la condición como una ecuación cuadrática en

x

Rewrite the condition as a quadratic equation in

x

Pista grande:

Sus dos raíces son

\cos\theta\pm i\sin\theta

Its two roots are

\cos\theta\pm i\sin\theta

Solución:

La ecuación es

x^2-2x\cos\theta+1=0,

cuyas raíces son

e^{i\theta}

y

e^{-i\theta}.

Así,

x=e^{\pm i\theta}

y

x^{-1}=e^{\mp i\theta}.

Por el teorema de De Moivre,

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation is

x^2-2x\cos\theta+1=0,

whose roots are

e^{i\theta}

and

e^{-i\theta}.

Thus

x=e^{\pm i\theta}

and

x^{-1}=e^{\mp i\theta}.

By De Moivre’s theorem,

\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is D.

25.

En el triángulo

ABC

de la figura adjunta,

AD

y

AE

trisecan

\angle BAC.

Las longitudes de

BD,

DE,

y

EC

son

2,

3,

y

6,

respectivamente. La longitud del lado más corto de

\triangle ABC

es

In triangle

ABC

in the adjoining figure,

AD

and

AE

trisect

\angle BAC.

The lengths of

BD,

DE,

and

EC

are

2,

3,

and

6,

respectively. The length of the shortest side of

\triangle ABC

is

2\sqrt{10}

11

6\sqrt6

6

no está determinada de manera única por la información dada

not uniquely determined by the given information

Respuesta: A

Conceptos:teorema de la bisectriz ley de los cosenos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sean los tres ángulos iguales a

\alpha

, y aplica el teorema de la bisectriz a un subtriángulo adecuado

Let the three equal angles be

\alpha

, and apply the angle-bisector theorem to a suitable subtriangle

Pista grande:

Iguala las expresiones de la ley de los cosenos para

\cos\alpha

en los tres triángulos adyacentes

Equate law-of-cosines expressions for

\cos\alpha

in the three adjacent triangles

Solución:

Sean

AB=c,

AD=y,

AC=b,

y

AE=z.

Como

AD

biseca

\angle BAE,

y

AE

biseca

\angle DAC,

el teorema de la bisectriz da

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},

así que

z=\frac{3c}{2}

y

b=2y.

Al aplicar la ley de los cosenos a los triángulos

ADB,

ADE,

y

AEC

e igualar sus valores comunes de

\cos\alpha

, se obtiene

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}

Por consiguiente,

y^2=54

y

c^2=40.

Los lados son

AB=2\sqrt{10},

BC=11,

y

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,

de modo que el más corto es

2\sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

AB=c,

AD=y,

AC=b,

and

AE=z.

Since

AD

bisects

\angle BAE,

and

AE

bisects

\angle DAC,

the angle-bisector theorem gives

\frac{c}{z}=\frac{2}{3},\qquad \frac{y}{b}=\frac{3}{6},

so

z=\frac{3c}{2}

and

b=2y.

Applying the law of cosines to triangles

ADB,

ADE,

and

AEC

and equating their common

\cos\alpha

values gives

\begin{gathered} 3c^2-2y^2=12,\\ 9c^2-8y^2=-72. \end{gathered}

Hence

y^2=54

and

c^2=40.

The sides are

AB=2\sqrt{10},

BC=11,

and

AC=2\sqrt{54}=6\sqrt6,

so the shortest is

2\sqrt{10}.

Therefore, the correct answer is A.

26.

Alice, Bob y Carol se turnan repetidamente para lanzar un dado. Alice empieza; Bob siempre sigue a Alice; Carol siempre sigue a Bob; y Alice siempre sigue a Carol. Halla la probabilidad de que Carol sea la primera en sacar un seis. (La probabilidad de obtener un seis en cualquier lanzamiento es

\frac16,

independientemente del resultado de cualquier otro lanzamiento.)

Alice, Bob, and Carol repeatedly take turns tossing a die. Alice begins; Bob always follows Alice; Carol always follows Bob; and Alice always follows Carol. Find the probability that Carol will be the first one to toss a six. (The probability of obtaining a six on any toss is

\frac16,

independent of the outcome of any other toss.)

\frac13

\frac29

\frac5{18}

\frac{25}{91}

\frac{36}{91}

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)distribución geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Para que Carol gane en una ronda, Alice y Bob deben fallar antes de que Carol tenga éxito

For Carol to win in a given round, Alice and Bob must fail before Carol succeeds

Pista grande:

Si los tres fallan, el proceso vuelve a empezar con las mismas probabilidades

If all three fail, the process restarts with the same probabilities

Solución:

Carol gana en la primera ronda con probabilidad

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.

Una ronda completa sin ningún seis tiene probabilidad

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.

Por lo tanto, la serie geométrica buscada es

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carol wins in the first round with probability

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.

A complete round with no six has probability

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.

Therefore the desired geometric series is

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.

Therefore, the correct answer is D.

27.

En la figura adjunta, el triángulo

ABC

está inscrito en un círculo. El punto

D

está en

\overset{\frown}{AC}

, con

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

y el punto

G

está en

\overset{\frown}{BA}

, con

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Los lados

AB

y

AC

tienen cada uno la misma longitud que la cuerda

DG,

y

\angle CAB=30^\circ.

La cuerda

DG

corta los lados

AC

y

AB

en

E

y

F,

respectivamente. La razón entre el área de

\triangle AFE

y el área de

\triangle ABC

es

In the adjoining figure triangle

ABC

is inscribed in a circle. Point

D

lies on

\overset{\frown}{AC}

with

\overset{\frown}{DC}=30^\circ,

and point

G

lies on

\overset{\frown}{BA}

with

\overset{\frown}{BG}\gt\overset{\frown}{GA}.

Side

AB

and side

AC

each have length equal to the length of chord

DG,

and

\angle CAB=30^\circ.

Chord

DG

intersects sides

AC

and

AB

at

E

and

F,

respectively. The ratio of the area of

\triangle AFE

to the area of

\triangle ABC

is

\frac{2-\sqrt3}{3}

\frac{2\sqrt3-3}{3}

7\sqrt3-12

3\sqrt3-5

\frac{9-5\sqrt3}{3}

Respuesta: C

Conceptos:arco cuerda razón de áreas

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa las cuerdas iguales para identificar los arcos iguales pertinentes y los triángulos isósceles

Use equal chords to identify the relevant equal arcs and isosceles triangles

Pista grande:

Normaliza

AB=AC=DG=1

y halla

AE

mediante un triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

Normalize

AB=AC=DG=1

and find

AE

from a

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

triangle

Solución:

Ajusta la escala para que

AB=AC=DG=1.

Las relaciones entre arcos correspondientes a cuerdas iguales muestran que el triángulo

DEC

es un triángulo

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

y que

AE=DE.

Sea

AE=DE=x.

Entonces

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

por lo que

x=2\sqrt3-3.

Las cuerdas iguales también dan

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Por tanto,

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale so

AB=AC=DG=1.

The equal-chord arc relations show that triangle

DEC

is

30^\circ

-

60^\circ

-

90^\circ

and

AE=DE.

Put

AE=DE=x.

Then

CE=1-x=\frac{2x}{\sqrt3},

so

x=2\sqrt3-3.

Equal chords also give

AF=FG=EF=\frac{1-x}{2}.

Hence

\begin{aligned} \frac{[AFE]}{[ABC]} &=\frac{x(1-x)}2\\ &=7\sqrt3-12. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

28.

Considera el conjunto de todas las ecuaciones

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

donde

a_2,

a_1,

a_0

son constantes reales y

|a_i|\le2

para

i=0,

1,

2.

Sea

r

el mayor número real positivo que satisface al menos una de estas ecuaciones. Entonces

Consider the set of all equations

x^3+a_2x^2+a_1x+a_0=0,

where

a_2,

a_1,

a_0

are real constants and

|a_i|\le2

for

i=0,

1,

2.

Let

r

be the largest positive real number which satisfies at least one of these equations. Then

1\le r\lt\frac32

\frac32\le r\lt2

2\le r\lt\frac52

\frac52\le r\lt3

3\le r\lt\frac72

Respuesta: D

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Para

x

positivo, los coeficientes que empujan una raíz más hacia la derecha toman sus cotas inferiores

For positive

x,

the coefficients that push a root farthest right take their lower bounds

Pista grande:

Acota la raíz mayor de

x^3-2x^2-2x-2

entre dos extremos consecutivos de las opciones

Bracket the largest root of

x^3-2x^2-2x-2

at two consecutive choice endpoints

Solución:

Denota por

g

un polinomio permitido. Para

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

donde

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Así, ninguna raíz positiva puede superar la raíz mayor

\rho

de

f.

Al tomar

a_2=a_1=a_0=-2

se obtiene

g=f,

por lo que

\rho

sí se alcanza. Como

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

tenemos

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write an allowed polynomial as

g.

For

x\ge0,

\begin{aligned} g(x)&=x^3+a_2x^2\\ &\quad+a_1x+a_0\\ &\ge f(x), \end{aligned}

where

f(x)=x^3-2x^2-2x-2.

Thus no positive root can exceed the largest root

\rho

of

f.

Taking

a_2=a_1=a_0=-2

gives

g=f,

so

\rho

itself is attained. Since

\begin{gathered} f\left(\frac52\right)=-\frac{31}{8}\lt0,\\ f(3)=1\gt0, \end{gathered}

we have

\frac{5}{2}\lt\rho\lt3.

Therefore, the correct answer is D.

29.

Si

a\gt1,

entonces la suma de las soluciones reales de

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

es igual a

If

a\gt1,

then the sum of the real solutions of

\sqrt{a-\sqrt{a+x}}=x

is equal to

\sqrt a-1

\frac{\sqrt a-1}{2}

\sqrt{a-1}

\frac{\sqrt{a-1}}2

\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2}

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrática análisis por casos

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

La raíz cuadrada principal obliga a que

x\ge0

The principal square root forces

x\ge0

Pista grande:

Después de elevar una vez al cuadrado, factoriza una diferencia que contiene

\sqrt{a+x}-x

After one squaring, factor a difference involving

\sqrt{a+x}-x

Solución:

Como

x\ge0,

al elevar una vez al cuadrado obtenemos

a-\sqrt{a+x}=x^2.

Sea

y=\sqrt{a+x}.

Entonces

y=a-x^2

y

a=y^2-x,

por lo que

0=(y+x)(y-x-1).

Como

y+x\gt0,

tenemos

y=x+1,

es decir,

\sqrt{a+x}=x+1.

Por tanto,

a+x=x^2+2x+1

y

x^2+x+1-a=0.

La única raíz no negativa es

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},

y satisface la ecuación original. Por lo tanto, también es la suma de todas las soluciones reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

x\ge0,

squaring once gives

a-\sqrt{a+x}=x^2.

Let

y=\sqrt{a+x}.

Then

y=a-x^2

and

a=y^2-x,

so

0=(y+x)(y-x-1).

Since

y+x\gt0,

we have

y=x+1,

or

\sqrt{a+x}=x+1.

Therefore

a+x=x^2+2x+1

and

x^2+x+1-a=0.

The only nonnegative root is

x=\frac{\sqrt{4a-3}-1}{2},

and it satisfies the original equation. It is therefore also the sum of all real solutions.

Therefore, the correct answer is E.

30.

Si

a,

b,

c,

d

son las soluciones de la ecuación

x^4-bx-3=0,

entonces una ecuación cuyas soluciones son

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

es

If

a,

b,

c,

d

are the solutions of the equation

x^4-bx-3=0,

then an equation whose solutions are

\begin{gathered} \frac{a+b+c}{d^2},\quad \frac{a+b+d}{c^2},\\ \frac{a+c+d}{b^2},\quad \frac{b+c+d}{a^2} \end{gathered}

is

3x^4+bx+1=0

3x^4-bx+1=0

3x^4+bx^3-1=0

3x^4-bx^3-1=0

ninguna de estas

none of these

Respuesta: D

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta sustitución

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Usa la ausencia del término cúbico para hallar

a+b+c+d

Use the missing cubic term to find

a+b+c+d

Pista grande:

Cada expresión de la lista se convierte en el recíproco negativo de una raíz original

Each listed expression becomes the negative reciprocal of one original root

Solución:

Las fórmulas de Vieta dan

a+b+c+d=0.

Así, por ejemplo,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

y de manera análoga las raíces nuevas son

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Sustituye

x=-\frac{1}{r}

en

r^4-br-3=0.

Al multiplicar por

x^4

, obtenemos

1+bx^3-3x^4=0,

o bien

3x^4-bx^3-1=0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Vieta’s formulas give

a+b+c+d=0.

Thus, for example,

\frac{a+b+c}{d^2}=-\frac1d,

and similarly the new roots are

-\frac{1}{a},

-\frac{1}{b},

-\frac{1}{c},

-\frac{1}{d}.

Put

x=-\frac{1}{r}

in

r^4-br-3=0.

Multiplying by

x^4

gives

1+bx^3-3x^4=0,

or

3x^4-bx^3-1=0.

Therefore, the correct answer is D.

Problemas del 1981 AMC 12

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 980

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Pista grande: