1981 AMC 12 Problema 20

Question

Un rayo de luz parte del punto

A

y viaja en un plano, reflejándose

n

veces entre las rectas

AD

y

CD,

antes de incidir perpendicularmente en un punto

B

(que puede estar en

AD

o

CD

) y volver sobre su trayectoria hasta

A.

(En cada punto de reflexión, el rayo forma dos ángulos iguales, como se indica en la figura adjunta. La figura muestra la trayectoria para

n=3.

) Si

\angle CDA=8^\circ,

¿cuál es el mayor valor que puede tener

n

?

A ray of light originates from point

A

and travels in a plane, being reflected

n

times between lines

AD

and

CD,

before striking a point

B

(which may be on

AD

or

CD

) perpendicularly and retracing its path to

A.

(At each point of reflection the light makes two equal angles as indicated in the adjoining figure. The figure shows the light path for

n=3.

) If

\angle CDA=8^\circ,

what is the largest value

n

can have?

6

10

38

98

No existe un valor máximo.

There is no largest value.

Respuesta: B

Conceptos:reflexión (geometría)persecución de ángulos desigualdad

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sigue el ángulo agudo entre el rayo y cada recta reflectora sucesiva

Track the acute angle between the ray and each successive reflecting line

Pista grande:

Cada reflexión aumenta ese ángulo en el ángulo de la cuña,

8^\circ

Each reflection advances that angle by the wedge angle

8^\circ

Solución:

Sea

\theta\gt0

el ángulo agudo inicial entre el rayo y

AD.

Las relaciones sucesivas entre ángulos exteriores aumentan el ángulo agudo correspondiente en

8^\circ

con cada reflexión. En la incidencia perpendicular final,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Así,

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

por lo que

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

El mayor entero posible es

10,

alcanzado cuando

\theta=2^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

\theta\gt0

be the initial acute angle between the ray and

AD.

Successive exterior-angle relations increase the corresponding acute angle by

8^\circ

at each reflection. At the final perpendicular strike,

90^\circ=\theta+(8n+8)^\circ.

Thus

\theta=82^\circ-8n^\circ\gt0,

so

n\lt\frac{82}{8}=10.25.

The greatest integer possible is

10,

attained when

\theta=2^\circ.

Therefore, the correct answer is B.