1981 AMC 12 Problema 17

Question

La función

f

no está definida para

x=0,

pero, para todo número real no nulo

x,

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.

La ecuación

f(x)=f(-x)

se satisface para

The function

f

is not defined for

x=0,

but, for all nonzero real numbers

x,

f(x)+2f\left(\frac1x\right)=3x.

The equation

f(x)=f(-x)

is satisfied by

exactamente un número real

exactly one real number

exactamente dos números reales

exactly two real numbers

ningún número real

no real numbers

infinitos números reales no nulos, pero no todos

infinitely many, but not all, nonzero real numbers

todos los números reales no nulos

all nonzero real numbers

Respuesta: B

Conceptos:ecuación funcional sistema de ecuaciones simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Vuelve a aplicar la relación dada después de sustituir

x

por

\frac{1}{x}

Apply the given relation again after replacing

x

by

\frac{1}{x}

Pista grande:

Resuelve las dos ecuaciones para

f(x)

y luego compara sus valores en

x

y

-x

Solve the two equations for

f(x)

, then compare its values at

x

and

-x

Solución:

Al sustituir

x

por

\frac{1}{x}

, obtenemos

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.

Al resolver las dos ecuaciones lineales resulta

f(x)=\frac2x-x.

Por consiguiente,

f(-x)=-f(x),

así que la igualdad exige

f(x)=0.

Por tanto,

\frac{2}{x}-x=0,

o bien

x^2=2.

Tanto

x=\sqrt2

como

x=-\sqrt2

funcionan, lo que da exactamente dos números reales.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Replacing

x

by

\frac{1}{x}

gives

f(\frac{1}{x})+2f(x)=\frac{3}{x}.

Solving the two linear equations yields

f(x)=\frac2x-x.

Hence

f(-x)=-f(x),

so equality requires

f(x)=0.

Thus

\frac{2}{x}-x=0,

or

x^2=2.

Both

x=\sqrt2

and

x=-\sqrt2

work, giving exactly two real numbers.

Therefore, the correct answer is B.