1981 AMC 12 Problema 8

Question

Para todos los números positivos

x,

y,

z,

el producto

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

es igual a

For all positive numbers

x,

y,

z,

the product

\begin{aligned} &(x+y+z)^{-1}\\ &\quad\cdot(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1})\\ &\quad\cdot(xy+yz+zx)^{-1}\\ &\quad\cdot\big((xy)^{-1}+(yz)^{-1}+(zx)^{-1}\big) \end{aligned}

equals

x^{-2}y^{-2}z^{-2}

x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}

(x+y+z)^{-1}

\frac1{xyz}

\frac1{xy+yz+zx}

Reescribe cada suma de recíprocos con un denominador común

Rewrite each sum of reciprocals over a common denominator

Las dos sumas de recíprocos introducen los factores

xy+yz+zx

y

x+y+z

The two reciprocal sums introduce factors

xy+yz+zx

and

x+y+z

Tenemos

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

y

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

Todos los factores de las sumas simétricas se cancelan, y queda

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have

x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=\frac{xy+yz+zx}{xyz}

and

\begin{aligned} &(xy)^{-1}+(yz)^{-1}\\ &\quad+(zx)^{-1} =\frac{x+y+z}{xyz}. \end{aligned}

All symmetric sum factors cancel, leaving

\frac{1}{x^2y^2z^2}=x^{-2}y^{-2}z^{-2}.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 8 en otros años