1981 AMC 12 Problema 13

Question

Supón que, al final de cada año, una unidad monetaria ha perdido el

10\%

del valor que tenía al principio de ese año. Halla el menor entero

n

tal que, después de

n

años, la unidad monetaria haya perdido al menos el

90\%

de su valor. (Al milésimo más cercano,

\log_{10}3

es

0.477.

)

Suppose that at the end of any year, a unit of money has lost

10\%

of the value it had at the beginning of that year. Find the smallest integer

n

such that after

n

years the unit of money will have lost at least

90\%

of its value. (To the nearest thousandth

\log_{10}3

is

0.477.

)

14

16

18

20

22

Después de

n

años, la fracción del valor que queda es

0.9^n

After

n

years, the fraction of value remaining is

0.9^n

Usa

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

Use

\log_{10}0.9=2\log_{10}3-1

Perder al menos el

90\%

significa que

0.9^n\le0.1.

Ahora,

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}

Así,

n(-0.046)\le-1,

de modo que

n\ge21.739\ldots.

El menor entero es

22.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

At least

90\%

lost means

0.9^n\le0.1.

Now

\begin{aligned} \log_{10}0.9 &=\log_{10}9-1\\ &=2(0.477)-1\\ &=-0.046. \end{aligned}

Thus

n(-0.046)\le-1,

so

n\ge21.739\ldots.

The least integer is

22.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 13 en otros años