1981 AMC 12 Problema 26

Question

Alice, Bob y Carol se turnan repetidamente para lanzar un dado. Alice empieza; Bob siempre sigue a Alice; Carol siempre sigue a Bob; y Alice siempre sigue a Carol. Halla la probabilidad de que Carol sea la primera en sacar un seis. (La probabilidad de obtener un seis en cualquier lanzamiento es

\frac16,

independientemente del resultado de cualquier otro lanzamiento.)

Alice, Bob, and Carol repeatedly take turns tossing a die. Alice begins; Bob always follows Alice; Carol always follows Bob; and Alice always follows Carol. Find the probability that Carol will be the first one to toss a six. (The probability of obtaining a six on any toss is

\frac16,

independent of the outcome of any other toss.)

\frac13

\frac29

\frac5{18}

\frac{25}{91}

\frac{36}{91}

Respuesta: D

Conceptos:dados (probabilidad)distribución geométrica eventos independientes

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

Para que Carol gane en una ronda, Alice y Bob deben fallar antes de que Carol tenga éxito

For Carol to win in a given round, Alice and Bob must fail before Carol succeeds

Pista grande:

Si los tres fallan, el proceso vuelve a empezar con las mismas probabilidades

If all three fail, the process restarts with the same probabilities

Solución:

Carol gana en la primera ronda con probabilidad

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.

Una ronda completa sin ningún seis tiene probabilidad

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.

Por lo tanto, la serie geométrica buscada es

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Carol wins in the first round with probability

(\frac{5}{6})^2(\frac{1}{6})=\frac{25}{216}.

A complete round with no six has probability

(\frac{5}{6})^3=\frac{125}{216}.

Therefore the desired geometric series is

\frac{\frac{25}{216}}{1-\frac{125}{216}} =\frac{25}{91}.

Therefore, the correct answer is D.