1981 AMC 12 Problema 21

Question

En un triángulo cuyos lados tienen longitudes

a,

b,

y

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

La medida del ángulo opuesto al lado de longitud

c

es

In a triangle with sides of lengths

a,

b,

and

c,

(a+b+c)(a+b-c)=3ab.

The measure of the angle opposite the side of length

c

is

15^\circ

30^\circ

45^\circ

60^\circ

150^\circ

Desarrolla el lado izquierdo como una diferencia de cuadrados

Expand the left side as a difference of squares

Compara la expresión resultante para

c^2

con la ley de los cosenos

Compare the resulting expression for

c^2

with the law of cosines

La condición da

(a+b)^2-c^2=3ab,

por lo que

c^2=a^2+b^2-ab.

Si

\theta

es el ángulo opuesto a

c,

la ley de los cosenos dice que

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Por tanto,

2ab\cos\theta=ab,

así que

\cos\theta=\frac{1}{2}

y

\theta=60^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The condition gives

(a+b)^2-c^2=3ab,

so

c^2=a^2+b^2-ab.

If

\theta

is opposite

c,

the law of cosines says

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.

Therefore

2ab\cos\theta=ab,

so

\cos\theta=\frac{1}{2}

and

\theta=60^\circ.

Therefore, the correct answer is D.

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