1981 AMC 12 Problema 23

Question

El triángulo equilátero

\triangle ABC

está inscrito en un círculo. Un segundo círculo es tangente interiormente al circuncírculo en

T

y tangente a los lados

AB

y

AC

en los puntos

P

y

Q.

Si el lado

BC

tiene longitud

12,

entonces el segmento

PQ

tiene longitud

Equilateral

\triangle ABC

is inscribed in a circle. A second circle is tangent internally to the circumcircle at

T

and tangent to sides

AB

and

AC

at points

P

and

Q.

If side

BC

has length

12,

then segment

PQ

has length

6

6\sqrt3

8

8\sqrt3

9

Respuesta: C

Conceptos:triángulo equilátero circunferencias tangentes semejanza

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Usa la simetría para situar los centros de ambos círculos y

T

en la altura trazada desde

A

Use symmetry to place both circle centers and

T

on the altitude from

A

Pista grande:

Relaciona el radio del círculo menor con el circunradio mediante el semiángulo de

30^\circ

en

A

Relate the smaller circle’s radius to the circumradius using the

30^\circ

half-angle at

A

Solución:

El circunradio del triángulo equilátero es

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

Si el radio menor es

r,

su centro se encuentra en la altura y está a

2r

de

A,

porque su distancia a cualquiera de los lados es

r

y el semiángulo es

30^\circ.

La tangencia interior en la parte inferior da

2r=2R-r,

así que

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

Los puntos de tangencia en los dos lados están separados por

PQ=r\sqrt3=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The circumradius of the equilateral triangle is

R=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.

If the smaller radius is

r,

its center lies on the altitude and is

2r

from

A,

because its distance to either side is

r

and the half-angle is

30^\circ.

Internal tangency at the bottom gives

2r=2R-r,

so

r=\frac{2R}{3}=\frac{8\sqrt3}{3}.

The tangency points on the two sides are separated by

PQ=r\sqrt3=8.

Therefore, the correct answer is C.