1983 AMC 12 Problema 4

Question

En la figura plana adjunta, los lados

AF

y

CD

son paralelos, al igual que los lados

AB

y

FE,

y los lados

BC

y

ED.

Cada lado tiene longitud

1.

Además,

\angle FAB=\angle BCD=60^\circ.

El área de la figura es

In the adjoining plane figure, sides

AF

and

CD

are parallel, as are sides

AB

and

FE,

and sides

BC

and

ED.

Each side has length

1.

Also,

\angle FAB=\angle BCD=60^\circ.

The area of the figure is

\frac{\sqrt3}{2}

1

\frac32

\sqrt3

2

Respuesta: D

Conceptos:área descomposición de áreas triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Coloca

AF

y

CD

verticalmente y usa los ángulos de

60^\circ

para asignar coordenadas

Place

AF

and

CD

vertically and use the

60^\circ

angles to assign coordinates

Pista grande:

Los seis vértices pueden escribirse usando cambios horizontales de

\frac{\sqrt3}{2}

The six vertices can be written using horizontal changes of

\frac{\sqrt3}{2}

Solución:

Las direcciones paralelas y los ángulos de

60^\circ

sitúan los vértices, salvo un movimiento rígido, en

\begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned}

Al aplicar la fórmula del cordón a estos seis vértices se obtiene el área

\sqrt3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parallel directions and

60^\circ

angles place the vertices, up to rigid motion, at

\begin{aligned} A&=(0,0),\\ B&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12),\\ C&=(\sqrt3,0),\\ D&=(\sqrt3,-1),\\ E&=(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac32),\\ F&=(0,-1). \end{aligned}

Applying the shoelace formula to these six vertices gives area

\sqrt3.

Therefore, the correct answer is D.