1984 AMC 12 Problema 13

Intenta el Problema 13 del 1984 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1984 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

262+3+5\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} es igual a
262+3+5\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5} equals
2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
4−2−34-\sqrt2-\sqrt3
2+3+6−5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6-5
12(2+5−3)\frac12(\sqrt2+\sqrt5-\sqrt3)
13(3+5−2)\frac13(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)
Respuesta: A
Conceptos:radicalracionalización del denominadormanipulación algebraica
Pista pequeña:
Agrupa los dos primeros radicales del denominador
Group the first two radicals in the denominator
Pista grande:
Multiplica 2+3+5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 por 2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
Multiply 2+3+5\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5 by 2+3−5\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5
Solución:
Observa que (2+3+5)⋅(2+3−5)=(2+3)2−5=26. \begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned} Por consiguiente, el cociente es 2+3−5.\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Observe that (2+3+5)⋅(2+3−5)=(2+3)2−5=26. \begin{aligned} &(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)\\ &\quad{}\cdot(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\\ &=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\\ &=2\sqrt6. \end{aligned} Hence the quotient is 2+3−5.\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5.
Therefore, the correct answer is A.
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