1989 AMC 12 Problema 4

Question

En la figura,

ABCD

es un trapecio isósceles con

AD=BC=5,

AB=4,

y

DC=10.

El punto

C

está en

\overline{DF}

, y

B

es el punto medio de la hipotenusa

\overline{DE}

del triángulo rectángulo

DEF.

Entonces

CF=

In the figure,

ABCD

is an isosceles trapezoid with side lengths

AD=BC=5,

AB=4,

and

DC=10.

The point

C

is on

\overline{DF}

and

B

is the midpoint of hypotenuse

\overline{DE}

in the right triangle

DEF.

Then

CF=

3.25

3.5

3.75

4.0

4.25

Respuesta: D

Conceptos:trapecio punto medio semejanza

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde

A

y

B

hasta

\overline{DF}

Drop perpendiculars from

A

and

B

to

\overline{DF}

Pista grande:

El segmento por el punto medio

B

, paralelo a

EF

, llega al punto medio de

DF

The segment through midpoint

B

parallel to

EF

reaches the midpoint of

DF

Solución:

Traza

AG

y

BH

perpendiculares a

DF.

En el trapecio,

GH=AB=4

y

DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3.

Como

B

es punto medio de

DE

y

BH\parallel EF,

el teorema del punto medio hace que

H

sea punto medio de

DF.

Así,

DH=DG+GH=7,

DF=14

y

CF=14-10=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Drop perpendiculars

AG

and

BH

to

DF.

In the isosceles trapezoid,

GH=AB=4

and

DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3.

Since

B

is the midpoint of

DE

and

BH\parallel EF,

the midpoint theorem makes

H

the midpoint of

DF.

Hence

DH=DG+GH=7,

so

DF=14

and

CF=14-10=4.

Thus the correct answer is D.