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Problemas del 1989 AMC 12

30 problemas · 75 minutos

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1.

(−1)52+125=(-1)^{5^2}+1^{2^5}=
−7-7
−2-2
00
11
5757
Respuesta: C
Conceptos:orden de las operacionesexponente
Nivel de dificultad: 1010
Pista pequeña:
Evalúa los exponentes de arriba hacia abajo
Evaluate the exponents from the top down
Pista grande:
La paridad del exponente de −1-1 determina su signo
The parity of the exponent on −1-1 determines its sign
Solución:
Como 52=255^2=25 es impar, (−1)52=−1.(-1)^{5^2}=-1. Además, 125=1,1^{2^5}=1, así que la suma es 0.0.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because 52=255^2=25 is odd, (−1)52=−1.(-1)^{5^2}=-1. Also 125=1,1^{2^5}=1, so the sum is 0.0.
Thus the correct answer is C.

2.

19+116=\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=
15\frac15
14\frac14
27\frac27
512\frac5{12}
712\frac7{12}
Respuesta: D
Conceptos:fracciónradical
Nivel de dificultad: 970
Pista pequeña:
Suma las fracciones antes de sacar la raíz
Add the fractions before taking the square root
Pista grande:
Usa 144144 como denominador común
Use 144144 as a common denominator
Solución:
Tenemos 19+116=16+9144=25144.\frac19+\frac1{16}=\frac{16+9}{144}=\frac{25}{144}. Su raíz cuadrada positiva es 512.\frac5{12}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
We have 19+116=16+9144=25144.\frac19+\frac1{16}=\frac{16+9}{144}=\frac{25}{144}. Its positive square root is 512.\frac5{12}.
Thus the correct answer is D.

3.

Un cuadrado se corta en tres rectángulos mediante dos rectas paralelas a un lado, como se muestra. Si el perímetro de cada rectángulo es 24,24, el área del cuadrado original es
A square is cut into three rectangles along two lines parallel to a side, as shown. If the perimeter of each of the three rectangles is 24,24, then the area of the original square is
2424
3636
6464
8181
9696
Respuesta: D
Conceptos:perímetrocuadrado (geometría)rectángulo
Nivel de dificultad: 1030
Pista pequeña:
Los perímetros iguales obligan a que los anchos de los tres rectángulos sean iguales
Equal perimeters force the three rectangle widths to be equal
Pista grande:
Expresa el perímetro de un rectángulo con el lado del cuadrado
Express one rectangle’s perimeter using the square’s side length
Solución:
Sea ss el lado del cuadrado. Cada rectángulo tiene longitud ss y el mismo perímetro, así que sus anchos son iguales a s3.\frac{s}{3}. Entonces 2(s+s3)=24, 2\left(s+\frac{s}{3}\right)=24, por lo que s=9s=9 y el área es 81.81.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Let the square have side s.s. Since every rectangle has length ss and the same perimeter, their three widths are equal and are each s3.\frac{s}{3}. Thus 2(s+s3)=24, 2\left(s+\frac{s}{3}\right)=24, so s=9s=9 and the square’s area is 81.81.
Thus the correct answer is D.

4.

En la figura, ABCDABCD es un trapecio isósceles con AD=BC=5,AD=BC=5, AB=4,AB=4, y DC=10.DC=10. El punto CC está en DF‾\overline{DF}, y BB es el punto medio de la hipotenusa DE‾\overline{DE} del triángulo rectángulo DEF.DEF. Entonces CF=CF=
In the figure, ABCDABCD is an isosceles trapezoid with side lengths AD=BC=5,AD=BC=5, AB=4,AB=4, and DC=10.DC=10. The point CC is on DF‾\overline{DF} and BB is the midpoint of hypotenuse DE‾\overline{DE} in the right triangle DEF.DEF. Then CF=CF=
3.253.25
3.53.5
3.753.75
4.04.0
4.254.25
Respuesta: D
Conceptos:trapeciopunto mediosemejanza
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Traza perpendiculares desde AA y BB hasta DF‾\overline{DF}
Drop perpendiculars from AA and BB to DF‾\overline{DF}
Pista grande:
El segmento por el punto medio BB, paralelo a EFEF, llega al punto medio de DFDF
The segment through midpoint BB parallel to EFEF reaches the midpoint of DFDF
Solución:
Traza AGAG y BHBH perpendiculares a DF.DF. En el trapecio, GH=AB=4GH=AB=4 y DG=HC=DC−AB2=3. DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3. Como BB es punto medio de DEDE y BH∥EF,BH\parallel EF, el teorema del punto medio hace que HH sea punto medio de DF.DF. Así, DH=DG+GH=7,DH=DG+GH=7, DF=14DF=14 y CF=14−10=4.CF=14-10=4.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
Drop perpendiculars AGAG and BHBH to DF.DF. In the isosceles trapezoid, GH=AB=4GH=AB=4 and DG=HC=DC−AB2=3. DG=HC=\frac{DC-AB}{2}=3. Since BB is the midpoint of DEDE and BH∥EF,BH\parallel EF, the midpoint theorem makes HH the midpoint of DF.DF. Hence DH=DG+GH=7,DH=DG+GH=7, so DF=14DF=14 and CF=14−10=4.CF=14-10=4.
Thus the correct answer is D.

5.

Se usan palillos iguales para construir la cuadrícula mostrada. Si mide 2020 palillos de alto y 1010 de ancho, el número de palillos usados es
Toothpicks of equal length are used to build a rectangular grid as shown. If the grid is 2020 toothpicks high and 1010 toothpicks wide, then the number of toothpicks used is
3030
200200
410410
420420
430430
Respuesta: E
Conceptos:conteo de figuras en diagramasrectánguloenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1060
Pista pequeña:
Cuenta por separado los palillos horizontales y verticales
Count horizontal and vertical toothpicks separately
Pista grande:
Una cuadrícula de 1010 palillos de ancho tiene 1111 líneas verticales
A grid 1010 toothpicks wide has 1111 vertical grid lines
Solución:
Hay 1111 líneas verticales con 2020 palillos cada una y 2121 líneas horizontales con 1010 cada una. El total es 11⋅20+21⋅10=430. 11\cdot20+21\cdot10=430.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
There are 1111 vertical grid lines with 2020 toothpicks each, and 2121 horizontal grid lines with 1010 toothpicks each. The total is 11⋅20+21⋅10=430. 11\cdot20+21\cdot10=430.
Thus the correct answer is E.

6.

Si a,a, b>0b\gt0 y el triángulo del primer cuadrante limitado por los ejes y la gráfica de ax+by=6ax+by=6 tiene área 6,6, entonces ab=ab=
If a,a, b>0b\gt0 and the triangle in the first quadrant bounded by the coordinate axes and the graph of ax+by=6ax+by=6 has area 6,6, then ab=ab=
33
66
1212
108108
432432
Respuesta: A
Conceptos:geometría analíticaárea del triánguloecuación lineal
Nivel de dificultad: 1210
Pista pequeña:
Halla las intersecciones de la recta con los ejes
Find the intercepts of the line on the two axes
Pista grande:
Usa las intersecciones como base y altura
Use those intercepts as the base and height of the triangle
Solución:
Las intersecciones son 6a\frac{6}{a} y 6b.\frac{6}{b}. Así, el área es 12⋅6a⋅6b=18ab=6, \frac12\cdot\frac6a\cdot\frac6b=\frac{18}{ab}=6, de donde ab=3.ab=3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The intercepts are 6a\frac{6}{a} and 6b.\frac{6}{b}. Therefore the triangle’s area is 12⋅6a⋅6b=18ab=6, \frac12\cdot\frac6a\cdot\frac6b=\frac{18}{ab}=6, which gives ab=3.ab=3.
Thus the correct answer is A.

7.

En △ABC,\triangle ABC, ∠A=100∘,\angle A=100^\circ, ∠B=50∘,\angle B=50^\circ, ∠C=30∘,\angle C=30^\circ, AHAH es una altura y BMBM una mediana. Entonces ∠MHC=\angle MHC=
In △ABC,\triangle ABC, ∠A=100∘,\angle A=100^\circ, ∠B=50∘,\angle B=50^\circ, ∠C=30∘,\angle C=30^\circ, AHAH is an altitude, and BMBM is a median. Then ∠MHC=\angle MHC=
15∘15^\circ
22.5∘22.5^\circ
30∘30^\circ
40∘40^\circ
45∘45^\circ
Respuesta: C
Conceptos:mediana (geometría)alturapersecución de ángulos
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Compara los cambios horizontal y vertical de HH al punto medio MM
Compare the horizontal and vertical changes from HH to midpoint MM
Pista grande:
Ambos son la mitad de los catetos correspondientes del triángulo rectángulo AHCAHC
Both changes are half the corresponding legs of right triangle AHCAHC
Solución:
Como MM es punto medio de AC,AC, los cambios de HH a MM son, en sentido horizontal, HC2,\frac{HC}{2}, y, en sentido vertical, AH2.\frac{AH}{2}. Por tanto, tan⁡∠MHC=AH2HC2=AHHC=tan⁡∠ACH. \begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned} Así, ∠MHC=∠C=30∘.\angle MHC=\angle C=30^\circ.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Because MM is the midpoint of AC,AC, the horizontal change from HH to MM is HC2,\frac{HC}{2}, while the vertical change is AH2.\frac{AH}{2}. Thus tan⁡∠MHC=AH2HC2=AHHC=tan⁡∠ACH. \begin{aligned} \tan\angle MHC &=\frac{\frac{AH}{2}}{\frac{HC}{2}}\\ &=\frac{AH}{HC}\\ &=\tan\angle ACH. \end{aligned} Hence ∠MHC=∠C=30∘.\angle MHC=\angle C=30^\circ.
Thus the correct answer is C.

8.

¿Para cuántos enteros nn entre 11 y 100100 se factoriza x2+x−nx^2+x-n como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?
For how many integers nn between 11 and 100100 does x2+x−nx^2+x-n factor into the product of two linear factors with integer coefficients?
00
11
22
99
1010
Respuesta: D
Conceptos:factorizaciónconteo de enteros en un rangocuadrática
Nivel de dificultad: 1530
Pista pequeña:
Escribe los factores como (x−r)(x+s)(x-r)(x+s) con enteros positivos r,sr,s
Write the factors as (x−r)(x+s)(x-r)(x+s) with positive integers r,sr,s
Pista grande:
El coeficiente de xx obliga a que los parámetros difieran en 11
The coefficient of xx forces the two integer parameters to differ by 11
Solución:
La factorización debe ser (x−k)(x+k+1)(x-k)(x+k+1) para algún entero positivo k.k. Al desarrollar se obtiene x2+x−k(k+1),x^2+x-k(k+1), así que n=k(k+1).n=k(k+1). Los valores k=1,2,…,9k=1,2,\ldots,9 dan n≤100,n\le100, mientras que 10⋅11>100.10\cdot11\gt100. Hay 99 valores.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
An integer factorization must have the form (x−k)(x+k+1)(x-k)(x+k+1) for some positive integer k.k. Expanding gives x2+x−k(k+1),x^2+x-k(k+1), so n=k(k+1).n=k(k+1). The values k=1,2,…,9k=1,2,\ldots,9 give n≤100,n\le100, while 10⋅11>100.10\cdot11\gt100. There are 99 values.
Thus the correct answer is D.

9.

El señor y la señora Zeta quieren ponerle nombre a su bebé de modo que su monograma (las iniciales del nombre, el segundo nombre y el apellido) quede en orden alfabético y sin letras repetidas. ¿Cuántos monogramas de este tipo son posibles?
Mr. and Mrs. Zeta want to name their baby Zeta so that its monogram (first, middle, and last initials) will be in alphabetical order with no letters repeated. How many such monograms are possible?
276276
300300
552552
600600
1560015600
Respuesta: B
Conceptos:combinacionesarreglos con restricciones
Nivel de dificultad: 1470
Pista pequeña:
La inicial del apellido ya es ZZ
The last initial is already fixed as ZZ
Pista grande:
Elegir las otras dos letras distintas determina su orden
Choosing the other two distinct letters determines their alphabetical order
Solución:
Las dos primeras iniciales son dos letras distintas elegidas de AA a Y.Y. Elegidas las letras, el orden queda fijado. Por tanto, el número de monogramas es (252)=300. \binom{25}{2}=300.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The first two initials must be two distinct letters chosen from AA through Y.Y. Once chosen, their order is forced. Therefore the number of monograms is (252)=300. \binom{25}{2}=300.
Thus the correct answer is B.

10.

Considera la sucesión definida por u1=au_1=a (cualquier número positivo) y un+1=−1un+1,u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}, n=1,n=1, 2,2, 3,3, ….\ldots. ¿Para cuál valor de nn debe cumplirse un=au_n=a?
Consider the sequence defined recursively by u1=au_1=a (any positive number), and un+1=−1un+1,u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1}, n=1,n=1, 2,2, 3,3, ….\ldots. For which of the following values of nn must un=a?u_n=a?
1414
1515
1616
1717
1818
Respuesta: C
Conceptos:recursiónreconocimiento de patronesecuación racional
Nivel de dificultad: 1770
Pista pequeña:
Calcula simbólicamente u2,u3,u_2,u_3, y u4u_4
Compute u2,u3,u_2,u_3, and u4u_4 symbolically
Pista grande:
Busca el período de x↦−1x+1x\mapsto-\frac{1}{x+1}
Look for the period of the transformation x↦−1x+1x\mapsto-\frac{1}{x+1}
Solución:
La sustitución directa da u2=−1a+1,u3=−a+1a,u4=a. \begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned} La sucesión se repite cada 33 términos, así que un=au_n=a cuando n≡1(mod3).n\equiv1\pmod3. Entre las opciones, solo 1616 tiene esa forma.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Direct substitution gives u2=−1a+1,u3=−a+1a,u4=a. \begin{aligned} u_2&=-\frac1{a+1},\\ u_3&=-\frac{a+1}{a},\\ u_4&=a. \end{aligned} The sequence therefore repeats every 33 terms, so un=au_n=a whenever n≡1(mod3).n\equiv1\pmod3. Among the choices, only 1616 has that form.
Thus the correct answer is C.

11.

Sean a,a, b,b, cc y dd enteros con a<2b,a\lt2b, b<3c,b\lt3c, y c<4d.c\lt4d. Si d<100,d\lt100, el mayor valor posible de aa es
Let a,a, b,b, cc and dd be integers with a<2b,a\lt2b, b<3c,b\lt3c, and c<4d.c\lt4d. If d<100,d\lt100, the largest possible value for aa is
23672367
23752375
23912391
23992399
24002400
Respuesta: A
Conceptos:desigualdadargumento extremalconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1420
Pista pequeña:
Maximiza los enteros desde dd hacia aa
Maximize the integers from dd backward to aa
Pista grande:
Cada desigualdad estricta reduce en 11 el mayor entero permitido
Each strict inequality lowers the greatest allowable integer by 11
Solución:
Los mayores valores posibles son d=99, c=395, b=1184,d=99,\ c=395,\ b=1184, y finalmente a=2367.a=2367. Todos satisfacen las desigualdades, así que el máximo se alcanza.
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
The largest possible values are d=99, c=395, b=1184,d=99,\ c=395,\ b=1184, and finally a=2367.a=2367. Each value satisfies its strict inequality, so this maximum is attainable.
Thus the correct answer is A.

12.

En cierta carretera este-oeste, el tránsito va a 6060 millas por hora en ambas direcciones. Un conductor hacia el este pasa 2020 vehículos hacia el oeste en cinco minutos. Si están igualmente espaciados, ¿qué opción se aproxima al número de vehículos hacia el oeste en un tramo de 100100 millas?
The traffic on a certain east-west highway moves at a constant speed of 6060 miles per hour in both directions. An eastbound driver passes 2020 westbound vehicles in a five-minute interval. Assume vehicles in the westbound lane are equally spaced. Which of the following is closest to the number of westbound vehicles present in a 100100-mile section of highway?
100100
120120
200200
240240
400400
Respuesta: C
Conceptos:velocidad relativadistancia, velocidad y tiemporazón y proporción
Nivel de dificultad: 1360
Pista pequeña:
La rapidez relativa es la suma de las velocidades
The cars approach one another at the sum of their speeds
Pista grande:
Usa la distancia recorrida a rapidez relativa para hallar el espaciamiento
Use the distance covered at relative speed to find the spacing between westbound vehicles
Solución:
La rapidez relativa es 120120 millas por hora, así que en cinco minutos se recorren 1010 millas relativas. Pasar 2020 vehículos implica espaciamiento 1020=12\frac{10}{20}=\frac{1}{2} milla. Un tramo de 100100 millas contiene aproximadamente 10012=200\frac{100}{\frac{1}{2}}=200 vehículos.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
The relative speed is 120120 miles per hour, so in five minutes the driver covers 1010 relative miles. Passing 2020 equally spaced vehicles in that distance means the spacing is about 1020=12\frac{10}{20}=\frac{1}{2} mile. Thus a 100100-mile section contains about 10012=200\frac{100}{\frac{1}{2}}=200 vehicles.
Thus the correct answer is C.

13.

Dos franjas de ancho 11 se superponen formando un ángulo α\alpha. El área de la región sombreada es
Two strips of width 11 overlap at an angle of α\alpha as shown. The area of the overlap (shown shaded) is
sin⁡α\sin\alpha
1sin⁡α\frac1{\sin\alpha}
11−cos⁡α\frac1{1-\cos\alpha}
1sin⁡2α\frac1{\sin^2\alpha}
1(1−cos⁡α)2\frac1{(1-\cos\alpha)^2}
Respuesta: B
Conceptos:paralelogramoáreatrigonometría
Nivel de dificultad: 1810
Pista pequeña:
La región es un paralelogramo de altura 11
The overlap is a parallelogram with altitude 11
Pista grande:
Si su lado inclinado mide L,L, entonces Lsin⁡α=1L\sin\alpha=1
If its slanted side has length L,L, then Lsin⁡α=1L\sin\alpha=1
Solución:
La región es un paralelogramo. Con el lado inclinado como base, la altura es el ancho 11 de la franja inclinada. Si la base mide L,L, su componente vertical da Lsin⁡α=1.L\sin\alpha=1. Así, L=1sin⁡α,L=\frac{1}{\sin\alpha}, y el área es L⋅1=1sin⁡α.L\cdot1=\frac{1}{\sin\alpha}.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
The overlap is a parallelogram. Taking a slanted side as its base, the perpendicular height is the width 11 of the slanted strip. If that base has length L,L, its vertical component is the width of the horizontal strip, so Lsin⁡α=1.L\sin\alpha=1. Hence L=1sin⁡α,L=\frac{1}{\sin\alpha}, and the area is L⋅1=1sin⁡α.L\cdot1=\frac{1}{\sin\alpha}.
Thus the correct answer is B.

14.

cot⁡10+tan⁡5=\cot10+\tan5=
csc⁡5\csc5
csc⁡10\csc10
sec⁡5\sec5
sec⁡10\sec10
sin⁡15\sin15
Respuesta: B
Conceptos:trigonometríamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Reescribe ambos términos con seno y coseno
Rewrite both terms using sine and cosine
Pista grande:
Usa sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5\sin10=2\sin5\cos5 y cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25\cos10=\cos^25-\sin^25
Use sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5\sin10=2\sin5\cos5 and cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25\cos10=\cos^25-\sin^25
Solución:
Usando sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5,\sin10=2\sin5\cos5, cot⁡10+tan⁡5=cos⁡10sin⁡10+sin⁡5cos⁡5. \begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned} El numerador común es cos⁡10+2sin⁡25.\cos10+2\sin^25. Como cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25,\cos10=\cos^25-\sin^25, este numerador es 1,1, y la expresión es csc⁡10.\csc10.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Using sin⁡10=2sin⁡5cos⁡5,\sin10=2\sin5\cos5, cot⁡10+tan⁡5=cos⁡10sin⁡10+sin⁡5cos⁡5. \begin{aligned} \cot10+\tan5 &=\frac{\cos10}{\sin10}\\ &\quad+\frac{\sin5}{\cos5}. \end{aligned} Combining the fractions gives numerator cos⁡10+2sin⁡25.\cos10+2\sin^25. Since cos⁡10=cos⁡25−sin⁡25,\cos10=\cos^25-\sin^25, this numerator is 1,1, and the expression is csc⁡10.\csc10.
Thus the correct answer is B.

15.

En △ABC,\triangle ABC, AB=5,AB=5, BC=7,BC=7, AC=9AC=9 y DD está en AC‾\overline{AC} con BD=5.BD=5. Halla AD:DC.AD:DC.
In △ABC,\triangle ABC, AB=5,AB=5, BC=7,BC=7, AC=9AC=9 and DD is on AC‾\overline{AC} with BD=5.BD=5. Find the ratio AD:DC.AD:DC.
4:34:3
7:57:5
11:611:6
13:513:5
19:819:8
Respuesta: E
Conceptos:Teorema de Stewartrazón y proporción
Nivel de dificultad: 2170
Pista pequeña:
Sea AD=mAD=m y DC=9−mDC=9-m
Let AD=mAD=m and DC=9−mDC=9-m
Pista grande:
Aplica el teorema de Stewart a la ceviana BDBD
Apply Stewart’s Theorem to cevian BDBD
Solución:
Sea AD=mAD=m y DC=9−m.DC=9-m. Stewart da 72m+52(9−m)=9(52+m(9−m)). \begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered} Al simplificar, 9m2−57m=0,9m^2-57m=0, así que m=193.m=\frac{19}{3}. Entonces DC=83,DC=\frac{8}{3}, y AD:DC=19:8.AD:DC=19:8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Let AD=mAD=m and DC=9−m.DC=9-m. Stewart’s Theorem gives 72m+52(9−m)=9(52+m(9−m)). \begin{gathered} 7^2m+5^2(9-m) \\ =9\bigl(5^2+m(9-m)\bigr). \end{gathered} Simplifying yields 9m2−57m=0,9m^2-57m=0, so m=193.m=\frac{19}{3}. Then DC=83,DC=\frac{8}{3}, and AD:DC=19:8.AD:DC=19:8.
Thus the correct answer is E.

16.

Un punto reticular es un punto del plano cuyas coordenadas son enteras. ¿Cuántos puntos reticulares hay en el segmento cuyos extremos son (3,17)(3,17) y (48,281)(48,281)? (Incluye ambos extremos del segmento en el conteo.)
A lattice point is a point in the plane with integer coordinates. How many lattice points are on the line segment whose endpoints are (3,17)(3,17) and (48,281)?(48,281)? (Include both endpoints of the segment in your count.)
22
44
66
1616
4646
Respuesta: B
Conceptos:punto reticularmáximo común divisor
Nivel de dificultad: 1560
Pista pequeña:
Calcula las diferencias entre las coordenadas horizontales y verticales
Compute the horizontal and vertical coordinate differences
Pista grande:
Un segmento con diferencias Δx,Δy\Delta x,\Delta y contiene gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣)+1\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1 puntos reticulares
A segment with differences Δx,Δy\Delta x,\Delta y contains gcd⁡(∣Δx∣,∣Δy∣)+1\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)+1 lattice points
Solución:
Las diferencias entre las coordenadas son 4545 y 264,264, cuyo máximo común divisor es 3.3. Por tanto, el número de puntos reticulares, incluidos ambos extremos, es gcd⁡(45,264)+1=4.\gcd(45,264)+1=4.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
The coordinate differences are 4545 and 264,264, whose greatest common divisor is 3.3. The number of lattice points, including both endpoints, is therefore gcd⁡(45,264)+1=4.\gcd(45,264)+1=4.
Thus the correct answer is B.

17.

El perímetro de un triángulo equilátero supera en 19891989 cm el perímetro de un cuadrado. La longitud de cada lado del triángulo supera en dd cm la longitud de cada lado del cuadrado. El perímetro del cuadrado es mayor que 0.0. ¿Cuántos enteros positivos no son valores posibles de dd?
The perimeter of an equilateral triangle exceeds the perimeter of a square by 19891989 cm. The length of each side of the triangle exceeds the length of each side of the square by dd cm. The square has perimeter greater than 0.0. How many positive integers are not possible values for d?d?
00
99
221221
663663
infinitos
infinitely many
Respuesta: D
Conceptos:perímetroecuación linealconteo de enteros en un rango
Nivel de dificultad: 1550
Pista pequeña:
Sea ss la longitud del lado del cuadrado
Let the square’s side length be ss
Pista grande:
Traduce la condición de perímetro positivo en una desigualdad estricta para dd
Translate the positive-perimeter condition into a strict inequality for dd
Solución:
Si el cuadrado tiene lado s,s, el triángulo tiene lado s+d.s+d. La condición sobre los perímetros da 3(s+d)−4s=1989, 3(s+d)-4s=1989, por lo que s=3d−1989.s=3d-1989. La condición s>0s\gt0 equivale a d>663.d\gt663. Por tanto, los enteros positivos del 11 al 663663 son precisamente los valores imposibles.
Por tanto, la respuesta correcta es D.
If the square has side s,s, the triangle has side s+d.s+d. The perimeter condition gives 3(s+d)−4s=1989, 3(s+d)-4s=1989, so s=3d−1989.s=3d-1989. The condition s>0s\gt0 is equivalent to d>663.d\gt663. Thus the positive integers 11 through 663663 are precisely the impossible values.
Thus the correct answer is D.

18.

El conjunto de todos los números reales xx para los que x+x2+1−1x+x2+1 x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}} es un número racional es el conjunto de todos los
The set of all real numbers xx for which x+x2+1−1x+x2+1 x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}} is a rational number is the set of all
enteros xx
integers xx
racionales xx
rational xx
reales xx
real xx
xx para los cuales x2+1\sqrt{x^2+1} es racional
xx for which x2+1\sqrt{x^2+1} is rational
xx para los cuales x+x2+1x+\sqrt{x^2+1} es racional
xx for which x+x2+1x+\sqrt{x^2+1} is rational
Respuesta: B
Conceptos:racionalización del denominadorradicalmanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 1740
Pista pequeña:
Racionaliza el término recíproco
Rationalize the reciprocal term
Pista grande:
El conjugado x2+1−x\sqrt{x^2+1}-x es el recíproco del denominador
The conjugate x2+1−x\sqrt{x^2+1}-x is the reciprocal of the denominator
Solución:
Al racionalizar se obtiene 1x+x2+1=x2+1−x. \frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x. Por tanto, la expresión completa es 2x.2x. Es racional exactamente cuando xx es racional.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
Rationalizing gives 1x+x2+1=x2+1−x. \frac1{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x. The entire expression is therefore 2x.2x. It is rational exactly when xx is rational.
Thus the correct answer is B.

19.

Un triángulo está inscrito en un círculo. Los vértices del triángulo dividen el círculo en tres arcos de longitudes 3,3, 4,4, y 5.5. ¿Cuál es el área del triángulo?
A triangle is inscribed in a circle. The vertices of the triangle divide the circle into three arcs of lengths 3,3, 4,4, and 5.5. What is the area of the triangle?
66
18π2\frac{18}{\pi^2}
9π2(3−1)\frac9{\pi^2}(\sqrt3-1)
9π2(3+1)\frac9{\pi^2}(\sqrt3+1)
9π2(3+3)\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3)
Respuesta: E
Conceptos:arcocircunferencia circunscrita, circuncentro y circunradioárea del triángulo
Nivel de dificultad: 2340
Pista pequeña:
La circunferencia mide 12,12, así que primero halla el radio y los tres ángulos centrales
The circumference is 12,12, so first find the radius and the three central angles
Pista grande:
Divide el triángulo en tres triángulos que tengan el centro del círculo como vértice común
Split the triangle into three triangles having the circle’s center as a common vertex
Solución:
El radio es R=122π=6π.R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}. Las longitudes de arco 3,4,53,4,5 dan los ángulos centrales π2,2π3,5π6.\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}. La suma de sus senos es 1+32+12=3+32.1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}. Al dividir el triángulo desde el centro, su área es K=12⋅36π2⋅3+32=9π2(3+3). \begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}
Por tanto, la respuesta correcta es E.
The radius is R=122π=6π.R=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}. The arc lengths 3,4,53,4,5 give central angles π2,2π3,5π6.\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}. Their sines sum to 1+32+12=3+32.1+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}. Splitting the triangle at the center, its area is K=12⋅36π2⋅3+32=9π2(3+3). \begin{aligned} K&=\frac12\cdot\frac{36}{\pi^2} \cdot\frac{3+\sqrt3}{2}\\ &=\frac9{\pi^2}(\sqrt3+3). \end{aligned}
Thus the correct answer is E.

20.

Sea xx un número real elegido uniformemente al azar entre 100100 y 200.200. Si ⌊x⌋=12,\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12, halla la probabilidad de que ⌊100x⌋=120.\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120. (⌊v⌋\lfloor v\rfloor es el mayor entero menor o igual que v.v.)
Let xx be a real number selected uniformly at random between 100100 and 200.200. If ⌊x⌋=12,\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12, find the probability that ⌊100x⌋=120.\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120. (⌊v⌋\lfloor v\rfloor means the greatest integer less than or equal to v.v.)
225\frac2{25}
2412500\frac{241}{2500}
110\frac1{10}
96625\frac{96}{625}
11
Respuesta: B
Conceptos:probabilidad condicionalfunciones piso y techoprobabilidad geométrica
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Convierte cada condición de parte entera en un intervalo para xx
Convert each floor condition into an interval for xx
Pista grande:
La probabilidad condicional es la razón entre las longitudes de los dos intervalos pertinentes
The conditional probability is the ratio of the two relevant interval lengths
Solución:
La condición dada es 144≤x<169,144\le x\lt169, un intervalo de longitud 25.25. La condición deseada es 1202≤100x<1212, 120^2\le100x\lt121^2, o 144≤x<146.41.144\le x\lt146.41. Su longitud es 2.41=241100,2.41=\frac{241}{100}, por lo que la probabilidad condicional es 24110025=2412500. \frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
The given condition is 144≤x<169,144\le x\lt169, an interval of length 25.25. The desired condition is 1202≤100x<1212, 120^2\le100x\lt121^2, or 144≤x<146.41.144\le x\lt146.41. Its length is 2.41=241100,2.41=\frac{241}{100}, so the conditional probability is 24110025=2412500. \frac{\frac{241}{100}}{25}=\frac{241}{2500}.
Thus the correct answer is B.

21.

Una bandera cuadrada tiene, sobre un fondo blanco, una cruz roja de anchura uniforme con un cuadrado azul en el centro, como se muestra. (La cruz es simétrica respecto de cada diagonal del cuadrado.) Si la cruz completa (tanto los brazos rojos como el centro azul) ocupa el 36%36\% del área de la bandera, ¿qué porcentaje del área de la bandera es azul?
A square flag has a red cross of uniform width with a blue square in the center on a white background as shown. (The cross is symmetric with respect to each of the diagonals of the square.) If the entire cross (both the red arms and the blue center) takes up 36%36\% of the area of the flag, what percent of the area of the flag is blue?
0.50.5
11
22
33
66
Respuesta: C
Conceptos:descomposición de áreasporcentajesimetría
Nivel de dificultad: 1980
Pista pequeña:
Sea hh la mitad de una diagonal del cuadrado azul central después de escalar el lado de la bandera a 11
Let hh be half a diagonal of the central blue square after scaling the flag side to 11
Pista grande:
Los cuatro triángulos blancos de las esquinas tienen área total (1−2h)2(1-2h)^2
The four white corner triangles together have area (1−2h)2(1-2h)^2
Solución:
Escala la bandera a un cuadrado unitario y sea hh la distancia horizontal desde su centro hasta un vértice del cuadrado azul. Los cuatro triángulos blancos congruentes de las esquinas tienen área total (1−2h)2.(1-2h)^2. Como la cruz ocupa 0.36,0.36, (1−2h)2=0.64. (1-2h)^2=0.64. Con 0<h<12,0\lt h\lt\frac{1}{2}, esto da h=0.1.h=0.1. El cuadrado azul tiene diagonales perpendiculares de longitudes 2h2h y 2h,2h, por lo que su área es 12(2h)2=2h2=0.02,\frac12(2h)^2=2h^2=0.02, es decir, el 2%2\% del área de la bandera.
Por tanto, la respuesta correcta es C.
Scale the flag to a unit square, and let hh be the horizontal distance from its center to a vertex of the blue square. The four congruent white corner triangles have total area (1−2h)2.(1-2h)^2. Since the cross occupies 0.36,0.36, (1−2h)2=0.64. (1-2h)^2=0.64. With 0<h<12,0\lt h\lt\frac{1}{2}, this gives h=0.1.h=0.1. The blue square has perpendicular diagonals 2h2h and 2h,2h, so its area is 12(2h)2=2h2=0.02,\frac12(2h)^2=2h^2=0.02, or 2%2\% of the flag.
Thus the correct answer is C.

22.

Un niño tiene un conjunto de 9696 bloques distintos. Cada bloque es de uno de 22 materiales (plástico, madera), uno de 33 tamaños (pequeño, mediano, grande), uno de 44 colores (azul, verde, rojo, amarillo) y una de 44 formas (círculo, hexágono, cuadrado, triángulo). ¿Cuántos bloques del conjunto difieren del «círculo rojo mediano de plástico» exactamente en dos aspectos? (El «cuadrado rojo mediano de madera» es uno de ellos.)
A child has a set of 9696 distinct blocks. Each block is one of 22 materials (plastic, wood), 33 sizes (small, medium, large), 44 colors (blue, green, red, yellow), and 44 shapes (circle, hexagon, square, triangle). How many blocks in the set are different from the “plastic medium red circle” in exactly two ways? (The “wood medium red square” is such a block.)
2929
3939
4848
5656
6262
Respuesta: A
Conceptos:análisis por casoscombinacionesprincipio de multiplicación
Nivel de dificultad: 1600
Pista pequeña:
Para cada atributo, cuenta las alternativas distintas de las del bloque especificado
For each attribute, count the alternatives different from the specified block
Pista grande:
Elige un par de atributos para cambiar y multiplica sus cantidades de alternativas
Choose a pair of attributes to change, then multiply their alternative counts
Solución:
Las cantidades de alternativas para el material, el tamaño, el color y la forma son 1,2,3,3.1,2,3,3. Al cambiar exactamente dos atributos se obtiene 1⋅2+1⋅3+1⋅3+2⋅3+2⋅3+3⋅3=29. \begin{aligned} &1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3\\ &\qquad+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3=29. \end{aligned}
Por tanto, la respuesta correcta es A.
The numbers of alternatives for material, size, color, and shape are 1,2,3,3.1,2,3,3. Changing exactly two attributes gives 1⋅2+1⋅3+1⋅3+2⋅3+2⋅3+3⋅3=29. \begin{aligned} &1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3\\ &\qquad+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3=29. \end{aligned}
Thus the correct answer is A.

23.

Una partícula se mueve por el primer cuadrante de la siguiente manera. Durante el primer minuto se desplaza desde el origen hasta (1,0).(1,0). Después sigue las direcciones indicadas en la figura, yendo de un lado a otro entre los semiejes positivos xx e yy, y en cada minuto recorre una unidad de distancia paralela a un eje. ¿En qué punto estará la partícula después de exactamente 19891989 minutos?
A particle moves through the first quadrant as follows. During the first minute it moves from the origin to (1,0).(1,0). Thereafter, it continues to follow the directions indicated in the figure, going back and forth between the positive xx and yy axes, moving one unit of distance parallel to an axis in each minute. At which point will the particle be after exactly 19891989 minutes?
(35,44)(35,44)
(36,45)(36,45)
(37,45)(37,45)
(44,35)(44,35)
(45,36)(45,36)
Respuesta: D
Conceptos:simulación de procesosreconocimiento de patronescuadrado (geometría)
Nivel de dificultad: 2150
Pista pequeña:
Anota la posición de la partícula en los tiempos 1,4,9,16,…1,4,9,16,\ldots
Record the particle’s location at times 1,4,9,16,…1,4,9,16,\ldots
Pista grande:
Compara 19891989 con los cuadrados consecutivos 44244^2 y 45245^2
Compare 19891989 with the consecutive squares 44244^2 and 45245^2
Solución:
En el tiempo n2,n^2, la partícula está en (n,0)(n,0) si nn es impar y en (0,n)(0,n) si nn es par. Por tanto, en el tiempo 442=193644^2=1936 está en (0,44).(0,44). Luego se mueve 4444 unidades hacia la derecha, llega a (44,44)(44,44) en el tiempo 1980,1980, y se desplaza hacia abajo durante los siguientes 99 minutos. Por consiguiente, en el tiempo 19891989 está en (44,35).(44,35).
Por tanto, la respuesta correcta es D.
At time n2,n^2, the particle is at (n,0)(n,0) for odd nn and at (0,n)(0,n) for even n.n. Thus at time 442=193644^2=1936 it is at (0,44).(0,44). It then moves 4444 units right, reaching (44,44)(44,44) at time 1980,1980, and moves downward for the next 99 minutes. At time 19891989 it is therefore at (44,35).(44,35).
Thus the correct answer is D.

24.

Cinco personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Sea f≥0f\ge0 el número de personas sentadas junto a por lo menos una mujer y sea m≥0m\ge0 el número de personas sentadas junto a por lo menos un hombre. El número de pares ordenados posibles (f,m)(f,m) es
Five people are sitting at a round table. Let f≥0f\ge0 be the number of people sitting next to at least one female and m≥0m\ge0 be the number of people sitting next to at least one male. The number of possible ordered pairs (f,m)(f,m) is
77
88
99
1010
1111
Respuesta: B
Conceptos:arreglos circularesanálisis por casosenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 2210
Pista pequeña:
Clasifica las distribuciones según el número de mujeres
Classify arrangements by the number of females
Pista grande:
Con dos mujeres, separa los casos en que están juntas y en que no son adyacentes; obtén los casos con tres mujeres por simetría
With two females, separate the adjacent and nonadjacent cases; obtain three-female cases by symmetry
Solución:
Para 0,1,20,1,2 mujeres, los pares posibles son, respectivamente, (0,5), (2,5),(4,5), (3,4), \begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned} donde los dos casos con dos mujeres distinguen si están juntas o no son adyacentes. Al intercambiar los sexos se obtiene (5,0), (5,2),(5,4), (4,3). \begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned} Estos son 88 pares ordenados distintos.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
For 0,1,20,1,2 females, the possible pairs are respectively (0,5), (2,5),(4,5), (3,4), \begin{aligned} &(0,5),\ (2,5),\\ &(4,5),\ (3,4), \end{aligned} where the two-female cases distinguish adjacent from nonadjacent females. Swapping the sexes gives (5,0), (5,2),(5,4), (4,3). \begin{aligned} &(5,0),\ (5,2),\\ &(5,4),\ (4,3). \end{aligned} These are 88 distinct ordered pairs.
Thus the correct answer is B.

25.

En cierta competencia de campo traviesa entre dos equipos de cinco corredores cada uno, quien termina en la posición nn aporta nn puntos a su equipo. Gana el equipo con la puntuación más baja. Si no hay empates entre los corredores, ¿cuántas puntuaciones ganadoras distintas son posibles?
In a certain cross-country meet between two teams of five runners each, a runner who finishes in the nnth position contributes nn to his team’s score. The team with the lower score wins. If there are no ties among the runners, how many different winning scores are possible?
1010
1313
2727
120120
126126
Respuesta: B
Conceptos:subconjuntosargumento extremalenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Las puntuaciones de los dos equipos suman 1+2+⋯+101+2+\cdots+10
The two team scores add to 1+2+⋯+101+2+\cdots+10
Pista grande:
Determina la puntuación ganadora mínima y verifica que se puede obtener cada entero menor que la mitad del total
Determine the minimum winning score and verify that every integer below half the total is attainable
Solución:
Las dos puntuaciones suman 55,55, así que la puntuación ganadora es a lo sumo 27.27. Su mínimo es 1+2+3+4+5=15.1+2+3+4+5=15. Cada puntuación del 1515 al 2020 se obtiene con {1,2,3,4,k}\{1,2,3,4,k\} para k=5,…,10.k=5,\ldots,10. Las puntuaciones del 2121 al 2525 se obtienen con {1,2,3,k,10}\{1,2,3,k,10\} para k=5,…,9,k=5,\ldots,9, y las puntuaciones 26,2726,27 se obtienen con {1,2,4,9,10}\{1,2,4,9,10\} y {1,2,5,9,10}.\{1,2,5,9,10\}. Por tanto, son posibles los 1313 enteros del 1515 al 27.27.
Por tanto, la respuesta correcta es B.
The two scores sum to 55,55, so the winning score is at most 27.27. Its minimum is 1+2+3+4+5=15.1+2+3+4+5=15. Every score from 1515 through 2020 is obtained by {1,2,3,4,k}\{1,2,3,4,k\} for k=5,…,10.k=5,\ldots,10. Scores 2121 through 2525 use {1,2,3,k,10}\{1,2,3,k,10\} for k=5,…,9,k=5,\ldots,9, and 26,2726,27 use {1,2,4,9,10}\{1,2,4,9,10\} and {1,2,5,9,10}.\{1,2,5,9,10\}. Thus all 1313 integers from 1515 through 2727 are possible.
Thus the correct answer is B.

26.

Se forma un octaedro regular uniendo los centros de las caras adyacentes de un cubo. La razón entre el volumen del octaedro y el volumen del cubo es
A regular octahedron is formed by joining the centers of adjoining faces of a cube. The ratio of the volume of the octahedron to the volume of the cube is
312\frac{\sqrt3}{12}
616\frac{\sqrt6}{16}
16\frac16
28\frac{\sqrt2}{8}
14\frac14
Respuesta: C
Conceptos:geometría del cubopoliedrovolumen
Nivel de dificultad: 1940
Pista pequeña:
Escala el cubo para que tenga arista 22 y sitúa su centro en el origen
Scale the cube to side length 22 and place its center at the origin
Pista grande:
El octaedro tiene vértices (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)
The octahedron has vertices (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1)(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1)
Solución:
Toma un cubo de arista 2,2, cuyo volumen es 8.8. Los centros de las caras son (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1).(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1). En cada octante, el octaedro recorta un tetraedro con tres aristas unitarias perpendiculares y volumen 16.\frac{1}{6}. Así, su volumen es 8(16)=43,8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3}, y la razón es 438=16.\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.
Por tanto, la respuesta correcta es C.
Take a cube of side 2,2, so its volume is 8.8. The face centers are (±1,0,0),(0,±1,0),(0,0,±1).(\pm1,0,0),(0,\pm1,0),(0,0,\pm1). In each octant, the octahedron cuts out a tetrahedron with three perpendicular unit edges and volume 16.\frac{1}{6}. Thus its volume is 8(16)=43,8(\frac{1}{6})=\frac{4}{3}, and the ratio is 438=16.\frac{\frac{4}{3}}{8}=\frac{1}{6}.
Thus the correct answer is C.

27.

Sea nn un entero positivo. Si la ecuación 2x+2y+z=n2x+2y+z=n tiene 2828 soluciones en enteros positivos x,x, yy y z,z, entonces nn debe ser
Let nn be a positive integer. If the equation 2x+2y+z=n2x+2y+z=n has 2828 solutions in positive integers x,x, yy and z,z, then nn must be either
1414 o 1515
1414 or 1515
1515 o 1616
1515 or 1616
1616 o 1717
1616 or 1717
1717 o 1818
1717 or 1818
1818 o 1919
1818 or 1919
Respuesta: D
Conceptos:Ecuación diofánticasumatoriaconteo de pares
Nivel de dificultad: 2340
Pista pequeña:
Agrupa las soluciones según s=x+ys=x+y
Group solutions according to s=x+ys=x+y
Pista grande:
Para un ss fijo, cuenta los pares ordenados positivos (x,y)(x,y) y exige que n−2s≥1n-2s\ge1
For fixed s,s, count the positive ordered pairs (x,y)(x,y) and require n−2s≥1n-2s\ge1
Solución:
Para s=x+y≥2,s=x+y\ge2, hay s−1s-1 pares ordenados positivos (x,y),(x,y), y z=n−2sz=n-2s es positivo cuando s≤⌊n−12⌋.s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor. Si escribimos m=⌊n−12⌋,m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor, el número de soluciones es ∑s=2m(s−1)=m(m−1)2. \sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2. Al igualarlo a 2828 se obtiene m=8.m=8. Por tanto, ⌊n−12⌋=8,\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8, así que n=17n=17 o 18.18.
Por tanto, la respuesta correcta es D.
For s=x+y≥2,s=x+y\ge2, there are s−1s-1 positive ordered pairs (x,y),(x,y), and z=n−2sz=n-2s is positive when s≤⌊n−12⌋.s\le\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor. Writing m=⌊n−12⌋,m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor, the number of solutions is ∑s=2m(s−1)=m(m−1)2. \sum_{s=2}^{m}(s-1)=\frac{m(m-1)}2. Setting this equal to 2828 gives m=8.m=8. Hence ⌊n−12⌋=8,\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor=8, so n=17n=17 or 18.18.
Thus the correct answer is D.

28.

Halla la suma de las raíces de tan⁡2x−9tan⁡x+1=0\tan^2x-9\tan x+1=0 que están entre x=0x=0 y x=2πx=2\pi radianes.
Find the sum of the roots of tan⁡2x−9tan⁡x+1=0\tan^2x-9\tan x+1=0 that are between x=0x=0 and x=2πx=2\pi radians.
π2\frac\pi2
π\pi
3π2\frac{3\pi}2
3π3\pi
4π4\pi
Respuesta: D
Conceptos:cuadráticatrigonometríamanipulación algebraica
Nivel de dificultad: 2260
Pista pequeña:
En tan⁡x\tan x, sean rr y ss las dos raíces positivas
Let the two positive roots in tan⁡x\tan x be rr and ss
Pista grande:
Usa rs=1rs=1 para relacionar arctan⁡r+arctan⁡s,\arctan r+\arctan s, y luego incluye el período de la tangente
Use rs=1rs=1 to relate arctan⁡r+arctan⁡s,\arctan r+\arctan s, then include the period of tangent
Solución:
Las dos raíces r,sr,s de t2−9t+1=0t^2-9t+1=0 son positivas y satisfacen rs=1.rs=1. Por tanto, la suma de sus arcotangentes agudas es π2.\frac{\pi}{2}. Cada valor de la tangente aparece dos veces entre 00 y 2π,2\pi, con la segunda aparición desplazada en π.\pi. La suma de las cuatro raíces es 2(π2)+2π=3π. 2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.
Por tanto, la respuesta correcta es D.
The two roots r,sr,s of t2−9t+1=0t^2-9t+1=0 are positive and satisfy rs=1.rs=1. Therefore their acute arctangents add to π2.\frac{\pi}{2}. Each tangent value occurs twice between 00 and 2π,2\pi, with the second occurrence shifted by π.\pi. The sum of all four roots is 2(π2)+2π=3π. 2\left(\frac\pi2\right)+2\pi=3\pi.
Thus the correct answer is D.

29.

Halla ∑k=049(−1)k(992k), \sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k}, donde (nj)=n!j!(n−j)!. \binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.
Find ∑k=049(−1)k(992k), \sum_{k=0}^{49}(-1)^k\binom{99}{2k}, where (nj)=n!j!(n−j)!. \binom{n}{j}=\frac{n!}{j!(n-j)!}.
−250-2^{50}
−249-2^{49}
00
2492^{49}
2502^{50}
Respuesta: B
Conceptos:teorema del binomionúmero complejoraíces de la unidad
Nivel de dificultad: 2760
Pista pequeña:
Reconoce (−1)k(-1)^k como i2ki^{2k}
Recognize (−1)k(-1)^k as i2ki^{2k}
Pista grande:
Toma la parte real del desarrollo binomial de (1+i)99(1+i)^{99}
Take the real part of the binomial expansion of (1+i)99(1+i)^{99}
Solución:
La suma es la parte real de (1+i)99=2992e99πi4. (1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}. Como 99≡3(mod8),99\equiv3\pmod8, su parte real es 2992cos⁡3π4=2992(−22)=−249. \begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}
Por tanto, la respuesta correcta es B.
The sum is the real part of (1+i)99=2992e99πi4. (1+i)^{99}=2^{\frac{99}{2}}e^{\frac{99\pi i}{4}}. Since 99≡3(mod8),99\equiv3\pmod8, its real part is 2992cos⁡3π4=2992(−22)=−249. \begin{aligned} 2^{\frac{99}{2}}\cos\frac{3\pi}{4} &=2^{\frac{99}{2}}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\\ &=-2^{49}. \end{aligned}
Thus the correct answer is B.

30.

Supongamos que 77 niños y 1313 niñas se forman en una fila. Sea SS el número de lugares de la fila en los que un niño y una niña están uno al lado del otro. Por ejemplo, para la fila GBBGGGBGBGGBBGGGBGBG GGBGBGGBGGGGBGBGGBGG tenemos S=12.S=12. El valor promedio de SS (si se consideran todos los órdenes posibles de estas 2020 personas) es más cercano a
Suppose that 77 boys and 1313 girls line up in a row. Let SS be the number of places in the row where a boy and a girl are standing next to each other. For example, for the row GBBGGGBGBGGBBGGGBGBGGGBGBGGBGGGGBGBGGBGG we have S=12.S=12. The average value of SS (if all possible orders of these 2020 people are considered) is closest to
99
1010
1111
1212
1313
Respuesta: A
Conceptos:valor esperadodoble conteopermutaciones
Nivel de dificultad: 2550
Pista pequeña:
Usa un indicador para cada uno de los 1919 pares de posiciones adyacentes
Use an indicator for each of the 1919 adjacent pairs
Pista grande:
Para un par de posiciones adyacentes fijo, calcula la probabilidad de obtener BGBG o GBGB
For a fixed adjacent pair, compute the probability of seeing BGBG or GBGB
Solución:
Para cada uno de los 1919 pares de posiciones adyacentes, la probabilidad de que los sexos sean distintos es 720⋅1319+1320⋅719. \frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}. Por la linealidad de la esperanza, E[S]=19⋅2⋅7⋅1320⋅19=9110=9.1, \begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned} que es más cercano a 9.9.
Por tanto, la respuesta correcta es A.
For each of the 1919 adjacent position pairs, the probability of mixed sexes is 720⋅1319+1320⋅719. \frac7{20}\cdot\frac{13}{19} +\frac{13}{20}\cdot\frac7{19}. By linearity of expectation, E[S]=19⋅2⋅7⋅1320⋅19=9110=9.1, \begin{aligned} \mathbb E[S] &=19\cdot\frac{2\cdot7\cdot13}{20\cdot19}\\ &=\frac{91}{10}=9.1, \end{aligned} which is closest to 9.9.
Thus the correct answer is A.
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