1969 AMC 12 Problema 11

Question

Dados los puntos

P(-1,-2)

y

Q(4,2)

en el plano

xy

, se toma el punto

R(1,m)

de modo que

PR+RQ

sea mínimo. Entonces

m

es igual a:

Given points

P(-1,-2)

and

Q(4,2)

in the

xy

-plane, point

R(1,m)

is taken so that

PR+RQ

is a minimum. Then

m

equals:

-\dfrac35

-\dfrac25

-\dfrac15

\dfrac15

-\dfrac15

o

\dfrac15

either

-\dfrac15

or

\dfrac15

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica pendiente desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1640

Pista pequeña:

La desigualdad triangular se vuelve igualdad cuando

P,

R

y

Q

son colineales

The triangle inequality is sharp when

P,

R,

and

Q

are collinear

Pista grande:

Halla el punto de la recta

PQ

cuya coordenada

x

es

1

Find the point on line

PQ

whose

x

-coordinate is

1

Solución:

Por la desigualdad triangular,

PR+RQ\ge PQ,

con igualdad cuando

R

está en el segmento

PQ.

La pendiente de

PQ

es

\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.

Al pasar de

x=-1

a

x=1

, la coordenada

y

aumenta

(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},

por lo que

m=-2+\frac85=-\frac25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By the triangle inequality,

PR+RQ\ge PQ,

with equality when

R

lies on segment

PQ.

The slope of

PQ

is

\frac{2-(-2)}{4-(-1)}=\frac{4}{5}.

Moving from

x=-1

to

x=1

raises the

y

-coordinate by

(\frac{4}{5})(2)=\frac{8}{5},

so

m=-2+\frac85=-\frac25.

Therefore, the correct answer is B.