1972 AMC 12 Problema 11

Question

Los valores de

y

para los cuales el siguiente par de ecuaciones

\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}

puede tener una solución real común son:

The value(s) of

y

for which the following pair of equations

\begin{aligned} x^2+y^2-16&=0,\\ x^2-3y+12&=0 \end{aligned}

may have a real common solution, are:

solo

4

4

only

-7,

4

0,

4

ningún

y

no

y

todo

y

all

y

Respuesta: A

Conceptos:sistema de ecuaciones cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Elimina

x^2

entre las dos ecuaciones

Eliminate

x^2

between the equations

Pista grande:

Después de hallar los dos valores candidatos de

y

, comprueba si el

x^2

correspondiente es no negativo

After finding the two candidate

y

-values, check whether the corresponding

x^2

is nonnegative

Solución:

De la segunda ecuación,

x^2=3y-12.

Al sustituir en la primera se obtiene

\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0. \end{aligned}

Si

y=4,

entonces

x=0.

Si

y=-7,

entonces

x^2=-33,

por lo que no existe un

x

real. Así, solo

y=4

es posible.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From the second equation,

x^2=3y-12.

Substitution into the first gives

\begin{aligned} y^2+3y-28&=(y-4)(y+7)\\ &=0. \end{aligned}

If

y=4,

then

x=0.

If

y=-7,

then

x^2=-33,

so no real

x

exists. Thus only

y=4

is possible.

Therefore, the correct answer is A.