1982 AMC 12 Problema 11

Question

¿Cuántos enteros de cuatro cifras distintas hay entre

1{,}000

y

9{,}999

tales que el valor absoluto de la diferencia entre la primera cifra y la última sea

2

?

How many integers with four different digits are there between

1{,}000

and

9{,}999

such that the absolute value of the difference between the first digit and the last digit is

2?

672

784

840

896

1{,}008

Cuenta primero los pares ordenados permitidos de primera y última cifra

First count the allowed ordered pairs of first and last digits

Una vez fijadas esas cifras, elige dos cifras centrales distintas entre las ocho restantes

Once those digits are fixed, choose two distinct middle digits from the remaining eight

Para las primeras cifras

1,\ldots,9,

la cantidad de últimas cifras posibles que difieren en

2

es

1+1+2+2+2

más

2+2+1+1,

es decir,

14.

Además, un número cuya primera cifra es

2

puede terminar en

0,

lo que da

15

pares de cifras extremas. Las cifras centrales se pueden elegir entonces de

8\cdot7

maneras ordenadas. Por tanto, la cantidad es

15\cdot56=840.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For leading digits

1,\ldots,9,

the number of possible last digits differing by

2

is

1+1+2+2+2

plus

2+2+1+1,

or

14.

In addition, leading digit

2

may end in

0,

giving

15

endpoint pairs. The middle digits can then be chosen in

8\cdot7

ordered ways. Thus the count is

15\cdot56=840.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 11 en otros años