1973 AMC 12 Problema 11

Question

En cada una de las figuras

\mathrm{I}

a

\mathrm{IV}

se muestra un círculo con un cuadrado circunscrito y otro inscrito, centrados en el origen

O

de un sistema de coordenadas rectangulares cuyos ejes positivos

x

e

y

son

OX

y

OY

.

Las desigualdades

\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}

están representadas geométricamente por la figura número

Representación geométrica: Una desigualdad

f(x,y)\le g(x,y)

para todos

x,

y

se representa mediante una figura que muestra, para un número real típico

a,

la inclusión

\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}

A circle with a circumscribed and an inscribed square centered at the origin

O

of a rectangular coordinate system with positive

x

- and

y

-axes

OX

and

OY

is shown in each figure

\mathrm{I}

to

\mathrm{IV}

below.

The inequalities

\begin{aligned} |x|+|y| &\le \sqrt{2(x^2+y^2)}\\ &\le 2\operatorname{Max}(|x|,|y|). \end{aligned}

are represented geometrically by the figure numbered

Geometric representation: An inequality

f(x,y)\le g(x,y)

for all

x,

y

is represented by a figure showing, for a typical real number

a,

the containment

\begin{aligned} &\{(x,y):g(x,y)\le a\}\\ &\quad\subset \{(x,y):f(x,y)\le a\}. \end{aligned}

\mathrm{I}

\mathrm{II}

\mathrm{III}

\mathrm{IV}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad geometría analítica círculo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2190

Pista pequeña:

Identifica las formas de los conjuntos de subnivel de

|x|+|y|,

\sqrt{2(x^2+y^2)},

y

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)

Identify the shapes of the sublevel sets for

|x|+|y|,

\sqrt{2(x^2+y^2)},

and

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)

Pista grande:

La desigualdad invierte el orden de inclusión de los conjuntos de subnivel correspondientes

The inequality reverses the order of containment of the corresponding sublevel sets

Solución:

Para un

a

positivo fijo, el conjunto

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a

es un cuadrado con lados paralelos a los ejes. El conjunto

\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a

es su círculo circunscrito, y

|x|+|y|\le a

es el rombo circunscrito a ese círculo. Por lo tanto, la disposición requerida es un cuadrado interior alineado con los ejes, luego un círculo y finalmente un rombo exterior, que corresponde a la figura

\mathrm{II}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For a fixed positive

a,

the set

2\operatorname{Max}(|x|,|y|)\le a

is an axis-aligned square. The set

\sqrt{2(x^2+y^2)}\le a

is its circumscribed circle, and

|x|+|y|\le a

is the diamond circumscribed about that circle. Thus the required nesting is an inner axis-aligned square, then a circle, then an outer diamond, which is figure

\mathrm{II}.

Therefore, the correct answer is B.