1977 AMC 12 Problema 11

Question

Para cada número real

x,

sea

[x]

el mayor entero que no excede a

x

(es decir, el entero

n

tal que

n\le x\lt n+1

). ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

\mathrm{I}.

[x+1]=[x]+1

para todo

x

\mathrm{II}.

[x+y]=[x]+[y]

para todos

x

e

y

\mathrm{III}.

[xy]=[x][y]

para todos

x

e

y

For each real number

x,

let

[x]

be the largest integer not exceeding

x

(i.e., the integer

n

such that

n\le x\lt n+1

). Which of the following statements is (are) true?

\mathrm{I}.

[x+1]=[x]+1

for all

x

\mathrm{II}.

[x+y]=[x]+[y]

for all

x

and

y

\mathrm{III}.

[xy]=[x][y]

for all

x

and

y

ninguna

none

solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

todas

all

Respuesta: B

Conceptos:funciones piso y techo contraejemplo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Demuestra directamente la propiedad de traslación a partir de

n\le x\lt n+1

Prove the translation statement directly from

n\le x\lt n+1

Pista grande:

Prueba las otras dos afirmaciones con valores no enteros entre

1

y

2

Test the other two claims using noninteger values between

1

and

2

Solución:

Si

n\le x\lt n+1,

entonces

n+1\le x+1\lt n+2,

así que

\mathrm{I}

es verdadera. Al tomar

x=y=\frac{3}{2}

se obtiene

[x+y]=3\ne2=[x]+[y]

y

[xy]=2\ne1=[x][y].

Por lo tanto,

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

son falsas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If

n\le x\lt n+1,

then

n+1\le x+1\lt n+2,

so

\mathrm{I}

is true. Taking

x=y=\frac{3}{2}

gives

[x+y]=3\ne2=[x]+[y]

and

[xy]=2\ne1=[x][y].

Thus

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

are false.

Therefore, the correct answer is B.

1977 AMC 12 Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años