1965 AMC 12 Problema 11

Question

Considera las afirmaciones:

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}

\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},

y

\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.

De ellas, son incorrectas:

Consider the statements:

\begin{aligned} \mathrm{I:}\quad &(\sqrt{-4})(\sqrt{-16})\\ &=\sqrt{(-4)(-16)}, \end{aligned}

\mathrm{II:}\quad \sqrt{(-4)(-16)}=\sqrt{64},

and

\mathrm{III:}\quad \sqrt{64}=8.

Of these the following are incorrect:

ninguna

none

solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{III}

\mathrm{III}

only

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I}

and

\mathrm{III}

only

La regla del producto de raíces cuadradas requiere radicandos reales no negativos

The product rule for square roots requires nonnegative real radicands

Evalúa directamente las afirmaciones II y III

Evaluate statements II and III directly

La afirmación I aplica indebidamente

\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}

a radicandos negativos; sobre los reales su lado izquierdo no está definido, y con raíces complejas principales es igual a

-8,

no a

8.

Las afirmaciones II y III se simplifican correctamente a

8.

Por tanto, solo I es incorrecta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Statement I improperly applies

\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}

to negative radicands; over the reals its left side is undefined, and with principal complex roots it equals

-8,

not

8.

Statements II and III both correctly simplify to

8.

Thus only I is incorrect.

Therefore, the correct answer is B.

El Problema 11 en otros años