1951 AMC 12 第 18 题

Question

要将表达式

21x^2+ax+21

分解为两个系数为整数的线性不可约二项式之积。当

a

是下列哪一项时，可以完成这种分解？

The expression

21x^2+ax+21

is to be factored into two linear prime binomial factors with integer coefficients. This can be done if

a

is:

任意奇数

Any odd number

某些奇数

Some odd number

任意偶数

Any even number

某些偶数

Some even number

零

Zero

答案：D

知识点：因式分解奇偶性

难度评级：1450

小提示：

将两个因式写成

(Ax+B)(Cx+D)

Write the factors as

(Ax+B)(Cx+D)

大提示：

因为

AC=BD=21

，所以这四个整数因数都是奇数

Because

AC=BD=21,

all four integer factors are odd

解答：

设

\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D) \end{aligned}\text{。}

则

AC=BD=21

，所以

A,B,C,D

均为奇数。因此，

a=AD+BC

为偶数。某些偶数确实可行；例如，

\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21 \end{aligned}\text{。}

但并非每个偶数都可行。

因此，正确答案是 D。

Suppose

\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}

Then

AC=BD=21,

so

A,B,C,D

are odd. Therefore

a=AD+BC

is even. Some even values work; for example,

\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}

Not every even value works.

Thus, the correct answer is D.

1951 AMC 12 第 18 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

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