1951 AMC 12 Problema 18

Question

Se desea factorizar la expresión

21x^2+ax+21

en dos factores binomiales lineales irreducibles con coeficientes enteros. Esto puede hacerse si

a

es:

The expression

21x^2+ax+21

is to be factored into two linear prime binomial factors with integer coefficients. This can be done if

a

is:

Cualquier número impar

Any odd number

Algún número impar

Some odd number

Cualquier número par

Any even number

Algún número par

Some even number

Cero

Zero

Respuesta: D

Conceptos:factorización paridad

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Escribe los factores como

(Ax+B)(Cx+D)

Write the factors as

(Ax+B)(Cx+D)

Pista grande:

Como

AC=BD=21,

los cuatro factores enteros son impares

Because

AC=BD=21,

all four integer factors are odd

Solución:

Supongamos que

\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}

Entonces

AC=BD=21,

de modo que

A,B,C,D

son impares. Por lo tanto,

a=AD+BC

es par. Algunos valores pares funcionan; por ejemplo,

\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}

No todos los valores pares funcionan.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Suppose

\begin{aligned} &21x^2+ax+21\\ &\quad=(Ax+B)(Cx+D). \end{aligned}

Then

AC=BD=21,

so

A,B,C,D

are odd. Therefore

a=AD+BC

is even. Some even values work; for example,

\begin{aligned} &(3x+7)(7x+3)\\ &\quad=21x^2+58x+21. \end{aligned}

Not every even value works.

Thus, the correct answer is D.