1951 AMC 12 第 23 题

Question

一个圆柱形盒子的半径为

8

英寸，高为

3

英寸。分别给半径或高增加相同的长度，若要使两种情况下体积的非零增量相等，则应增加多少英寸？

The radius of a cylindrical box is

8

inches and the height is

3

inches. The number of inches that may be added to either the radius or the height to give the same nonzero increase in volume is:

1

5\dfrac13

任意数

Any number

不存在

Non-existent

以上答案均不正确

None of these

答案：B

知识点：圆柱体积二次方程

难度评级：1530

小提示：

比较半径增加

x

后的体积与高增加

x

后的体积

Compare the volume after adding

x

to the radius with the volume after adding

x

to the height

大提示：

令

\pi(8+x)^2(3)=\pi(8)^2(3+x)

，并舍去

x=0

Set

\pi(8+x)^2(3)=\pi(8)^2(3+x)

and discard

x=0

解答：

要使两种新体积相等，必须有

3\pi(8+x)^2=64\pi(3+x)\text{。}

约去

\pi

并展开，得到

3x^2-16x=0

，所以

x=0

或

x=\frac{16}{3}=5\dfrac13

。题目要求增量非零。

因此，正确答案是 B。

For the two new volumes to be equal,

3\pi(8+x)^2=64\pi(3+x).

Cancelling

\pi

and expanding gives

3x^2-16x=0,

so

x=0

or

x=\frac{16}{3}=5\dfrac13.

The problem requires a nonzero increase.

Thus, the correct answer is B.

1951 AMC 12 第 23 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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