In English En español

1953 AMC 12 第 20 题

先试着解答 1953 AMC 12 第 20 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1953 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

20.

若

y=x+\dfrac1x

，则

x^4+x^3-4x^2+x+1=0

可化为：

If

y=x+\dfrac1x,

then

x^4+x^3-4x^2+x+1=0

becomes:

x^2(y^2+y-2)=0

x^2(y^2+y-3)=0

x^2(y^2+y-4)=0

x^2(y^2+y-6)=0

以上答案均不正确

none of these

答案：D

知识点：换元法 reciprocal polynomial algebraic identity

难度评级：1740

小提示：

提取

x^2

，并把互为倒数的幂次项组合起来

Factor out

x^2

and group reciprocal terms

大提示：

使用

x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2

Use

x^2+x^{-2}=(x+x^{-1})^2-2

解答：

因为

x\ne0

，可将表达式写成

\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg] \end{aligned}\text{。}

由于

x^2+x^{-2}=y^2-2

，可化为

x^2(y^2+y-6)=0\text{。}

因此，正确答案是 D。

Because

x\ne0,

factor the expression as

\begin{aligned} x^2\Bigg[& \left(x^2+\frac1{x^2}\right)\\ &+\left(x+\frac1x\right)-4 \Bigg]. \end{aligned}

Since

x^2+x^{-2}=y^2-2,

this becomes

x^2(y^2+y-6)=0.

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 20 题