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1956 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

图中，

AB=AC

，角

BAD=30^\circ

，且

AE=AD

。则角

CDE

等于：

In the figure

AB=AC,

angle

BAD=30^\circ,

and

AE=AD.

Then angle

CDE

equals:

7\dfrac12^\circ

10^\circ

12\dfrac12^\circ

15^\circ

20^\circ

答案：D

知识点：isosceles triangles 导角 supplementary angles

难度评级：2070

小提示：

设

\angle DAE=\alpha

，利用等腰三角形

ABC

表示

C

点处的底角

Let

\angle DAE=\alpha

and express the base angle at

C

using isosceles triangle

ABC

大提示：

利用

AE=AD

表示

\angle ADE

，再分解

D

点处的平角

Use

AE=AD

to express

\angle ADE,

then split the straight angle at

D

解答：

设

\angle DAE=\alpha

。由于

AB=AC

且

AE=AD

，

\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2 \end{aligned}\text{。}

在三角形

ACD

中，

\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB

，所以

\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2

。由于

\angle ADC=\angle ADE+x

，

\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let

\angle DAE=\alpha.

Since

AB=AC

and

AE=AD,

\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}

Triangle

ACD

gives

\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,

so

\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.

Since

\angle ADC=\angle ADE+x,

\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

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