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1965 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

给定数列

10^{\frac{1}{11}}

，

10^{\frac{2}{11}}

，

10^{\frac{3}{11}}

，

\ldots

，

10^{\frac{n}{11}}

，使该数列前

n

项之积大于

100{,}000

的最小

n

值为：

Given the sequence

10^{\frac{1}{11}},

10^{\frac{2}{11}},

10^{\frac{3}{11}},

\ldots,

10^{\frac{n}{11}},

the smallest value of

n

such that the product of the first

n

members of this sequence exceeds

100{,}000

is:

7

8

9

10

11

答案：E

知识点：指数求和不等式

难度评级：1530

小提示：

将乘积中各项的指数相加

Add the exponents in the product

大提示：

要求

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

Require

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

解答：

该乘积为

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}\text{。}

要大于

100{,}000=10^5

，需有

n(n+1)\gt110

。当

n=10

时恰好相等，而

n=11

时超过它。

因此，正确答案是 E。

The product is

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}} =10^{\frac{n(n+1)}{22}}.

To exceed

100{,}000=10^5,

we need

n(n+1)\gt110.

At

n=10

equality holds, while

n=11

exceeds it.

Therefore, the correct answer is E.

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