1982 AMC 12 第 24 题

Question

在右图中，一个圆与等边三角形的各边相交于六个点。若

AG=2

、

GF=13

、

FC=1

，且

HJ=7

，则

DE

等于

In the adjoining figure, the circle meets the sides of an equilateral triangle at six points. If

AG=2,

GF=13,

FC=1

and

HJ=7,

then

DE

equals

2\sqrt{22}

7\sqrt3

9

10

13

答案：A

知识点：圆幂圆等边三角形

难度评级：2310

小提示：

该三角形的三边长均为

16

All three sides of the triangle have length

16

大提示：

分别从

A

、

B

和

C

使用点幂定理，将底边的两段与

DE

联系起来

Apply power of a point from

A,

B,

and

C

to relate the two base segments and

DE

解答：

首先，由点

A

的幂可得

AH(AH+7)=AG\cdot AF

。后一个乘积为

2\cdot15=30

，所以

AH=3

、

BJ=6

，且

BH=13

。令

BD=u

、

DE=x

、

EC=v

。对从

B

和

C

引出的割线使用点幂定理，得

\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14 \end{aligned}\text{。}

另外，

u+x+v=16

。将两个点幂方程相减，并利用该和式，得到

u-v=4

。因而

u=10-\frac{x}{2}

，且

v=6-\frac{x}{2}

。代入

v(v+x)=14

得

x^2=88

，所以

DE=2\sqrt{22}

。

因此，正确答案为 A。

First, power of

A

gives

AH(AH+7)=AG\cdot AF.

The latter product is

2\cdot15=30,

so

AH=3,

BJ=6,

and

BH=13.

Let

BD=u,

DE=x,

EC=v.

From the secants at

B

and

C,

\begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned}

Also

u+x+v=16.

Subtracting the power equations and using the sum gives

u-v=4.

Hence

u=10-\frac{x}{2}

and

v=6-\frac{x}{2}.

Substitution into

v(v+x)=14