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1969 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

将自然数

P

与

P'

（其中

P\gt P'

）分别除以自然数

D

，余数分别为

R

与

R'

。将

PP'

与

RR'

分别除以

D

，余数分别为

r

与

r'

。则：

When the natural numbers

P

and

P',

with

P\gt P',

are divided by the natural number

D,

the remainders are

R

and

R',

respectively. When

PP'

and

RR'

are divided by

D,

the remainders are

r

and

r',

respectively. Then:

r\gt r'

恒成立

r\gt r'

always

r\lt r'

恒成立

r\lt r'

always

有时

r\gt r'

，有时

r\lt r'

r\gt r'

sometimes, and

r\lt r'

sometimes

有时

r\gt r'

，有时

r=r'

r\gt r'

sometimes, and

r=r'

sometimes

r=r'

恒成立

r=r'

always

答案：E

知识点：模运算

难度评级：1670

小提示：

写出

P\equiv R\pmod D

与

P'\equiv R'\pmod D

Write

P\equiv R\pmod D

and

P'\equiv R'\pmod D

大提示：

将两个同余式相乘

Multiply the two congruences

解答：

根据余数的定义，

\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D \end{aligned}\text{。}

两式相乘，得

PP'\equiv RR'\pmod D

。由于每个数都有介于

0

与

D-1

之间的唯一余数，所以二者的余数必相等：

r=r'

。

所以正确答案是 E。

By definition of the remainders,

\begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned}

Multiplying gives

PP'\equiv RR'\pmod D.

Since each has a unique remainder between

0

and

D-1,

their remainders must be equal:

r=r'.

Therefore, the correct answer is E.

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