1988 AMC 12 第 24 题

Question

一个等腰梯形外切于一个圆。梯形的长底为

16

，其中一个底角为

\arcsin(0.8)

。求梯形的面积。

An isosceles trapezoid is circumscribed around a circle. The longer base of the trapezoid is

16,

and one of the base angles is

\arcsin(0.8).

Find the area of the trapezoid.

72

75

80

90

不能唯一确定

not uniquely determined

答案：C

知识点：tangential quadrilateral isosceles trapezoid 三角学面积

难度评级：2160

小提示：

对于外切四边形，两组对边的长度和相等

For a circumscribed quadrilateral, the sums of opposite side lengths are equal

大提示：

利用

\sin\alpha=\frac{4}{5}

和

\cos\alpha=\frac{3}{5}

建立腰长、高和两底之差之间的关系

Use

\sin\alpha=\frac{4}{5}

and

\cos\alpha=\frac{3}{5}

to relate the leg, height, and difference of the bases

解答：

设短底为

b

，两腰的长度均为

\ell

。相切条件给出

16+b=2\ell

。若底角为

\alpha

，则

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5}

，且

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell

。解得

b=4,\ \ell=10

，高为

\ell\sin\alpha=8

。面积为

\frac12(16+4)(8)=80

。

因此，正确答案是 C。

Let the shorter base be

b

and each leg be

\ell.

Tangency gives

16+b=2\ell.

If the base angle is

\alpha,

then

\sin\alpha=\frac{4}{5},\ \cos\alpha=\frac{3}{5},

and

16-b=2\ell\cos\alpha=(\frac{6}{5})\ell.

Solving gives

b=4,\ \ell=10,

and height

\ell\sin\alpha=8.

The area is

\frac12(16+4)(8)=80.

Thus the correct answer is C.

1988 AMC 12 第 24 题

答案：C

难度评级：2160

小提示：

大提示：

解答：

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