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1978 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

若互不相同的非零数

x(y-z)

、

y(z-x)

、

z(x-y)

构成公比为

r

的等比数列，则

r

满足方程

If the distinct nonzero numbers

x(y-z),

y(z-x),

z(x-y)

form a geometric progression with common ratio

r,

then

r

satisfies the equation

r^2+r+1=0

r^2-r+1=0

r^4+r^2-1=0

(r+1)^4+r=0

(r-1)^4+r=0

答案：A

知识点：等比数列代数变形

难度评级：2040

小提示：

将题给的三个表达式相加

Add the three given expressions

大提示：

将三个非零项写成

u

、

ur

、

ur^2

Write the three nonzero terms as

u,

ur,

ur^2

解答：

三个表达式之和为

\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0\text{。} \end{aligned}

将这个非零等比数列写成

u

、

ur

、

ur^2

，可得

u(1+r+r^2)=0

。由于

u\ne0

，所以

r^2+r+1=0

。

因此，正确答案是 A。

The three expressions have sum

\begin{aligned} &x(y-z)+y(z-x)\\ &\qquad+z(x-y)=0. \end{aligned}

Writing the nonzero geometric progression as

u,

ur,

ur^2

gives

u(1+r+r^2)=0.

Since

u\ne0,

r^2+r+1=0.

Therefore, the correct answer is A.

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