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1966 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

若

\log_MN=\log_NM

、

M\ne N

、

MN\gt0

，且

M\ne1

、

N\ne1

，则

MN

等于：

If

\log_MN=\log_NM,

M\ne N,

MN\gt0,

and

M\ne1,

N\ne1,

then

MN

equals:

\dfrac12

1

2

10

大于

2

且小于

10

的数

a number greater than

2

and less than

10

答案：B

知识点：代数变形对数

难度评级：1430

小提示：

用自然对数改写两个对数

Write both logarithms using natural logs

大提示：

该等式给出

(\ln M)^2=(\ln N)^2

；再利用

M\ne N

The equality gives

(\ln M)^2=(\ln N)^2

; use

M\ne N

解答：

换底公式给出

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N}\text{，}

所以

(\ln M)^2=(\ln N)^2

。若两个对数本身相等，就会得到已排除的

M=N

。因此

\ln M=-\ln N

，且

\ln(MN)=0

。所以

MN=1

。

因此，正确答案是 B。

Change of base gives

\frac{\ln N}{\ln M}=\frac{\ln M}{\ln N},

so

(\ln M)^2=(\ln N)^2.

Equality of the logs themselves would give

M=N,

which is excluded. Hence

\ln M=-\ln N,

and

\ln(MN)=0.

Thus

MN=1.

Therefore, the correct answer is B.

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