1957 AMC 12 第 25 题

Question

三角形

PQR

的三个顶点坐标为

P(0,a)

、

Q(b,0)

、

R(c,d)

，其中

a

、

b

、

c

与

d

均为正数。原点与点

R

位于直线

PQ

的两侧。三角形

PQR

的面积可由下式求得：

The vertices of triangle

PQR

have coordinates as follows:

P(0,a),

Q(b,0),

R(c,d),

where

a,

b,

c,

and

d

are positive. The origin and point

R

lie on opposite sides of

PQ.

The area of triangle

PQR

may be found from the expression:

\dfrac{ab+ac+bc+cd}{2}

\dfrac{ac+bd-ab}{2}

\dfrac{ab-ac-bd}{2}

\dfrac{ac+bd+ab}{2}

\dfrac{ac+bd-ab-cd}{2}

答案：B

知识点：坐标几何三角形面积行列式

难度评级：1630

小提示：

使用由坐标求三角形面积的行列式公式

Use the determinant formula for the area of a triangle from its coordinates

大提示：

两点位于直线两侧这一条件决定绝对值内的符号

The opposite-side condition determines the sign inside the absolute value

解答：

带符号的面积二倍为

\begin{vmatrix} 0&a&1\\ b&0&1\\ c&d&1 \end{vmatrix} =ab-ac-bd\text{。}

直线

PQ

的方程为

ax+by=ab

。由于原点代入左边所得值小于

ab

，而

R

位于另一侧，所以

ac+bd>ab

。因此面积为

\frac{ac+bd-ab}{2}\text{。}

因此，正确答案是 B。

The signed doubled area is

\begin{vmatrix} 0&a&1\\ b&0&1\\ c&d&1 \end{vmatrix} =ab-ac-bd.

The line

PQ

has equation

ax+by=ab.

Since the origin gives a value below

ab

and

R

is on the opposite side,

ac+bd>ab.

Thus the area is

\frac{ac+bd-ab}{2}.

Therefore, the correct answer is B.

1957 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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