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1959 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

在三角形

ABC

中，

\overline{AB}=\overline{AC}=3.6

。在

\overline{AB}

上取一点

D

，使其到

A

的距离为

1.2

。连接点

D

与

\overline{AC}

延长线上的点

E

，使三角形

AED

与三角形

ABC

面积相等。则

\overline{AE}

等于：

In triangle

ABC,

with

\overline{AB}=\overline{AC}=3.6,

a point

D

is taken on

\overline{AB}

at a distance

1.2

from

A.

Point

D

is joined to point

E

in the prolongation of

\overline{AC}

so that triangle

AED

is equal in area to triangle

ABC.

Then

\overline{AE}

equals:

4.8

5.4

7.2

10.8

12.6

答案：D

知识点：三角形面积面积比

难度评级：1280

小提示：

比较从

B

和

D

到直线

AC

的高

Compare the altitudes from

B

and

D

to the line

AC

大提示：

因为

\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}

，所以从

D

引出的高是从

B

引出的高的三分之一

Because

\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},

the altitude from

D

is one-third the altitude from

B

解答：

三角形

AED

和

ABC

的底边位于同一直线

AC

上。由于

\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13\text{，}

点

D

到直线

AC

的垂直距离是点

B

到该直线相应距离的三分之一。要使面积相等，必须有

AE\left(\frac h3\right)=AC(h)\text{，}

因此

AE=3AC=10.8

。

因此，正确答案是 D。

Triangles

AED

and

ABC

use bases on the same line

AC.

Since

\frac{AD}{AB}=\frac{1.2}{3.6}=\frac13,

the perpendicular distance from

D

to line

AC

is one-third the corresponding distance from

B.

Equality of areas therefore requires

AE\left(\frac h3\right)=AC(h),

so

AE=3AC=10.8.

Thus, the correct answer is D.

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