1963 AMC 12 Problema 10

Question

Se toma un punto

P

en el interior de un cuadrado de lado

a

, de manera que equidista de dos vértices consecutivos y del lado opuesto a esos vértices. Si

d

representa la distancia común, entonces

d

es igual a:

Point

P

is taken interior to a square with side-length

a

and such that it is equally distant from two consecutive vertices and from the side opposite these vertices. If

d

represents the common distance, then

d

equals:

\dfrac{3a}{5}

\dfrac{5a}{8}

\dfrac{3a}{8}

\dfrac{a\sqrt2}{2}

\dfrac a2

Respuesta: B

Conceptos:cuadrado (geometría)mediatriz fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Las distancias iguales a dos vértices consecutivos sitúan a

P

en la mediatriz del segmento que los une

The equal distances to two consecutive vertices put

P

on their perpendicular bisector

Pista grande:

Si la distancia al lado opuesto es

d,

usa un triángulo rectángulo con catetos

\frac{a}{2}

y

a-d

If the distance to the opposite side is

d,

use a right triangle with legs

\frac{a}{2}

and

a-d

Solución:

Coloca el lado opuesto a altura

0

y los dos vértices a altura

a.

Entonces

P=(\frac{a}{2},d).

Igualar la distancia al vértice con

d

da

\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,

de modo que

\frac{5a^2}{4}=2ad

y

d=\frac{5a}{8}.

Así, la respuesta correcta es B.

Place the opposite side at height

0

and the two vertices at height

a.

Then

P=(\frac{a}{2},d).

Equality of the vertex distance and

d

gives

\left(\frac a2\right)^2+(a-d)^2=d^2,

so

\frac{5a^2}{4}=2ad

and

d=\frac{5a}{8}.

Thus, the correct answer is B.