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1967 AMC 12 第 10 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

10.

若

\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}

对于

x

的所有正有理数值都是恒等式，则

a-b

的值为：

If

\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}

is an identity for positive rational values of

x,

then the value of

a-b

is:

\dfrac43

\dfrac53

2

\dfrac{11}{4}

3

答案：A

知识点：分式方程方程组

难度评级：1500

小提示：

两边乘以

(10^x-1)(10^x+2)

Multiply by

(10^x-1)(10^x+2)

大提示：

比较

10^x

的系数与常数项

Compare the coefficient of

10^x

and the constant term

解答：

清除分母得到

\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3 \end{aligned}\text{。}

因此

a+b=2

，且

2a-b=3

。解得

a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3}

，所以

a-b=\frac{4}{3}

。

因此，正确答案是 A。

Clearing denominators gives

\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}

Therefore

a+b=2

and

2a-b=3.

Solving gives

a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},

so

a-b=\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

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