1967 AMC 12 Problema 10

Question

Si

\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}

es una identidad para valores racionales positivos de

x,

entonces el valor de

a-b

es:

If

\begin{aligned} &\frac{a}{10^x-1}+\frac{b}{10^x+2}\\ &\qquad=\frac{2\cdot10^x+3} {(10^x-1)(10^x+2)} \end{aligned}

is an identity for positive rational values of

x,

then the value of

a-b

is:

\dfrac43

\dfrac53

2

\dfrac{11}{4}

3

Multiplica por

(10^x-1)(10^x+2)

Multiply by

(10^x-1)(10^x+2)

Compara el coeficiente de

10^x

y el término constante

Compare the coefficient of

10^x

and the constant term

Al eliminar denominadores se obtiene

\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}

Por lo tanto,

a+b=2

y

2a-b=3.

Al resolver se obtiene

a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},

de modo que

a-b=\frac{4}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Clearing denominators gives

\begin{aligned} &a(10^x+2)+b(10^x-1)\\ &\qquad=2\cdot10^x+3. \end{aligned}

Therefore

a+b=2

and

2a-b=3.

Solving gives

a=\frac{5}{3},\ b=\frac{1}{3},

so

a-b=\frac{4}{3}.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 10 en otros años